Resolva os problemas de valor inicial:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçante envolvendo a distribuição de Dirac
. - As condições iniciais são
e . - Devemos obter a solução
para todo , levando em conta o efeito do impulso em .]
Passo 2
Entendendo a força
— propriedade fundamental do delta:
- A distribuição
“puxa” o valor da função multiplicadora no ponto . Ou seja, para qualquer teste suave ,
- Em termos heurísticos e prático para ODEs, isso significa que
Ou seja, a força é um impulso concentrado em
com intensidade
.
Passo 3
Estratégia de solução (esquema): por ser um impulso em instante isolado, dividimos a solução em duas regiões:
- Região 1:
. A força é nula aí, então resolvemos a equação homogênea com as condições iniciais em . - Região 2:
. Também se resolve a equação homogênea, mas as condições iniciais para essa região são as condições de continuidade em modificadas pelo impulso (ou seja, haverá um salto na derivada).
Esse método é muito usado: antes do impulso a solução evolui livremente; o impulso age instantaneamente emprovocando um salto em (mas permanece contínua).
Passo 4
Solução para
(antes do impulso):
- Para
o termo forçante é zero porque quando . Logo a equação reduz-se a
- Aplicando as condições iniciais
, , a única solução da homogênea que satisfaz ambas é para .
Portanto,
Passo 5
Condições em
: continuidade de
e salto na derivada.
- Solução de equações com
: integrar a equação em torno de num intervalo pequeno e fazer . Fazemos:
- O lado direito tende a
pelo efeito do delta. O termo com é integral de uma função limitada em um intervalo que tende a zero, logo sua contribuição tende a . No lado esquerdo a integral de dá o salto de :
- Além disso, para uma equação com termo
no segundo membro, a função permanece contínua (não há termo com multiplicado por delta que gerasse salto em ). Assim
- Como já vimos em
temos , então
- Portanto as condições imediatamente após o impulso (valores iniciais para a região
) são
Passo 6
Resolver a homogênea para
com as condições em
.
- Para
ainda temos a equação homogênea
- Equação característica:
. Assim a solução geral é
- É mais prático usar a forma deslocada em relação a
: escrevemos
pois as condições iniciais estão em
.
Passo 7
Determinar as constantes
e
usando
e
.
- Avaliando em
:
Logo
.
- Derivando a solução:
Avaliando em
:
Como
, segue
Passo 8
Escrever a solução para
com as constantes encontradas:
- Como
e , obtemos
Passo 9
Unir as duas regiões numa fórmula única (usando a função degrau de Heaviside, se desejar):
- A solução completa, em forma peça a peça, é
- Em notação com a função degrau
(onde é zero para e 1 para ) pode-se escrever