Resolva os problemas de valor inicial:
(c) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=e^{t} \delta(t-2), \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y''+4y = e^{t}\,\delta(t-2),\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0. \end{array}\right.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçante envolvendo a distribuição de Dirac \delta(t-2).
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
  • Devemos obter a solução y(t) para todo t, levando em conta o efeito do impulso em t=2.]

Passo 2

Entendendo a força e^{t}\,\delta(t-2) — propriedade fundamental do delta:
  • A distribuição \delta(t-2) “puxa” o valor da função multiplicadora no ponto t=2. Ou seja, para qualquer teste suave \varphi(t),
\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(t)\,e^{t}\,\delta(t-2)\,dt = \varphi(2)\,e^{2}.
  • Em termos heurísticos e prático para ODEs, isso significa que
e^{t}\,\delta(t-2)=e^{2}\,\delta(t-2).
Ou seja, a força é um impulso concentrado em t=2 com intensidade e^{2}.

Passo 3

Estratégia de solução (esquema): por ser um impulso em instante isolado, dividimos a solução em duas regiões:
  • Região 1: t<2. A força é nula aí, então resolvemos a equação homogênea com as condições iniciais em t=0.
  • Região 2: t>2. Também se resolve a equação homogênea, mas as condições iniciais para essa região são as condições de continuidade em t=2 modificadas pelo impulso (ou seja, haverá um salto na derivada).
    Esse método é muito usado: antes do impulso a solução evolui livremente; o impulso age instantaneamente em t=2 provocando um salto em y' (mas y permanece contínua).

Passo 4

Solução para t<2 (antes do impulso):
  • Para t<2 o termo forçante é zero porque \delta(t-2)=0 quando t\neq2. Logo a equação reduz-se a
y''+4y=0.
  • Aplicando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, a única solução da homogênea que satisfaz ambas é y(t)\equiv0 para t<2.
    Portanto,
y(t)=0\quad\text{para }t<2.

Passo 5

Condições em t=2: continuidade de y e salto na derivada.
  • Solução de equações com \delta: integrar a equação em torno de t=2 num intervalo pequeno (2-\varepsilon,2+\varepsilon) e fazer \varepsilon\to0^+. Fazemos:
\int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} (y''(t)+4y(t))\,dt = \int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} e^{t}\delta(t-2)\,dt.
  • O lado direito tende a e^{2} pelo efeito do delta. O termo com 4y é integral de uma função limitada em um intervalo que tende a zero, logo sua contribuição tende a 0. No lado esquerdo a integral de y'' dá o salto de y':
y'(2^+)-y'(2^-)=e^{2}.
  • Além disso, para uma equação com termo \delta no segundo membro, a função y(t) permanece contínua (não há termo com y' multiplicado por delta que gerasse salto em y). Assim
y(2^+)=y(2^-).
  • Como já vimos em t<2 temos y(t)\equiv0, então
y(2^-)=0,\qquad y'(2^-)=0.
  • Portanto as condições imediatamente após o impulso (valores iniciais para a região t>2) são
y(2)=0,\qquad y'(2)=e^{2}.

Passo 6

Resolver a homogênea para t>2 com as condições em t=2.
  • Para t>2 ainda temos a equação homogênea
y''+4y=0.
  • Equação característica: r^{2}+4=0\Rightarrow r=\pm 2i. Assim a solução geral é
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
  • É mais prático usar a forma deslocada em relação a t=2: escrevemos
y(t)=C\cos\bigl(2(t-2)\bigr)+D\sin\bigl(2(t-2)\bigr),
pois as condições iniciais estão em t=2.

Passo 7

Determinar as constantes C e D usando y(2)=0 e y'(2)=e^{2}.
  • Avaliando em t=2:
y(2)=C\cos 0 + D\sin 0 = C = 0.
Logo C=0.
  • Derivando a solução:
y'(t) = -2C\sin\bigl(2(t-2)\bigr) + 2D\cos\bigl(2(t-2)\bigr).
Avaliando em t=2:
y'(2)=2D\cdot\cos 0 = 2D.
Como y'(2)=e^{2}, segue
2D=e^{2}\quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{e^{2}}{2}.

Passo 8

Escrever a solução para t>2 com as constantes encontradas:
  • Como C=0 e D=\tfrac{e^{2}}{2}, obtemos
y(t)=\tfrac{e^{2}}{2}\,\sin\bigl(2(t-2)\bigr)\quad\text{para }t>2.

Passo 9

Unir as duas regiões numa fórmula única (usando a função degrau de Heaviside, se desejar):
  • A solução completa, em forma peça a peça, é
y(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] \dfrac{e^{2}}{2}\,\sin\bigl(2(t-2)\bigr), & t>2. \end{cases}
  • Em notação com a função degrau u(t-2) (onde u é zero para t<2 e 1 para t>2) pode-se escrever
y(t)=\dfrac{e^{2}}{2}\,u(t-2)\,\sin\bigl(2(t-2)\bigr).]

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[6pt] \dfrac{e^{2}}{2}\,\sin\bigl(2(t-2)\bigr), & t>2. \end{cases}]

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