Resolva os problemas de valor inicial.
(x+1) \frac{d y}{d x}-2\left(x^{2}+x\right) y=\frac{e^{x^{2}}}{x+1} \quad y(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x+1)\,\frac{dy}{dx}-2\bigl(x^2+x\bigr)\,y=\frac{e^{x^2}}{x+1},
com condição inicial y(0)=5.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
achar o fator integrante \mu(x), integrar e depois aplicar y(0)=5.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x+1 (supondo x\neq -1) obtemos
\frac{dy}{dx}-2x\,y=\frac{e^{x^2}}{(x+1)^2}.

Passo 3

O coeficiente de y é p(x)=-2x. Logo o fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr)=\exp\bigl(-x^2\bigr).

Passo 4

Multiplicando a equação por e^{-x^2} resulta em
e^{-x^2}\frac{dy}{dx}-2x\,e^{-x^2}y=\frac{1}{(x+1)^2},
ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^2}\bigr)=\frac{1}{(x+1)^2}.
Integrando ambos os lados:
y\,e^{-x^2}=\int\frac{1}{(x+1)^2}\,dx + C =-\frac{1}{x+1}+C.
Logo
y=-\frac{e^{x^2}}{x+1}+C\,e^{x^2}.

Passo 5

Impondo y(0)=5:
5=-\frac{e^0}{0+1}+C\,e^0=-1+C \quad\Longrightarrow\quad C=6.

Resposta

y(x)=e^{x^2}\Bigl(6-\frac{1}{x+1}\Bigr).

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