Resolva os problemas de valor inicial.
\frac{d y}{d x}+x y=x \quad y(0)=-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} + x\,y = x,\quad y(0) = -6.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante pela condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
aqui P(x)=x e Q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int x\,dx\Bigr) = e^{x^2/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x), obtendo
e^{x^2/2}\,\frac{dy}{dx} + x\,e^{x^2/2}\,y = x\,e^{x^2/2}.
O lado esquerdo é a derivada de y\,e^{x^2/2}, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2/2}\bigr) = x\,e^{x^2/2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
y\,e^{x^2/2} = \int x\,e^{x^2/2}\,dx + C = e^{x^2/2} + C.
Isolando y, vem
y(x) = 1 + C\,e^{-x^2/2}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=-6:
-6 = 1 + C\quad\Longrightarrow\quad C = -7.
Logo a solução particular é
y(x) = 1 - 7\,e^{-x^2/2}.

Resposta

y(x) = 1 - 7\,e^{-x^2/2}.

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