Seja f uma grandeza física qualquer (concentração de substância, temperatura, deslocamento espacial, população, investimento, etc) e t designa tempo. Assuma que a taxa de variação (temporal) de f é proporcional à f, com uma constante de proporcionalidade k. Pede-se:(a) Uma equação diferencial relacionando f e t.(b) A solução geral da equação acima, na qual devem aparecer duas constantes.(c) Se soubermos os valores de f em dois instantes distintos t_{1} e t_{2}, é possível calcularmos as constantes acima ? Explique com um exemplo simples.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma grandeza f=f(t) cuja variação temporal é proporcional ao próprio valor, com constante de proporcionalidade k.
Conteúdo: equação diferencial de crescimento/exponencial. Para resolver, vamos montar a ODE, separar variáveis, integrar e depois ver como ajustar as constantes usando dois pontos.

Passo 2

Como “a taxa de variação de f é proporcional a f” escrevemos
\frac{df}{dt}=k\,f,
que é a equação diferencial procurada.

Passo 3

Para resolver \frac{df}{dt}=k\,f separamos variáveis:
\frac{1}{f}\,df = k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{f}\,df = \int k\,dt \;\Longrightarrow\; \ln|f| = k\,t + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Exponenciando:
f(t) = C\,e^{k\,t},
com C = e^{C_1}. Aqui aparecem duas constantes: C e k.

Passo 4

Suponha que saibamos f(t_1)=f_1 e f(t_2)=f_2 em dois instantes t_1\neq t_2. Então
f_1 = C\,e^{k\,t_1}, \quad f_2 = C\,e^{k\,t_2}.
Dividindo as duas equações:
\frac{f_2}{f_1} = \frac{C\,e^{k\,t_2}}{C\,e^{k\,t_1}} = e^{k\,(t_2-t_1)} \;\Longrightarrow\; k = \frac{1}{t_2-t_1}\,\ln\!\bigl(\tfrac{f_2}{f_1}\bigr).
Em seguida, de f_1 = C\,e^{k\,t_1} obtemos
C = f_1\,e^{-\,k\,t_1}.
Logo, conhecendo (t_1,f_1) e (t_2,f_2), determinamos unicamente k e C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{df}{dt}=k\,f.
(b) \displaystyle f(t)=C\,e^{k\,t}, com constantes C e k.
(c) Sim. Se f(t_1)=f_1 e f(t_2)=f_2, então
k=\frac{1}{t_2-t_1}\ln\!\bigl(\tfrac{f_2}{f_1}\bigr), \quad C=f_1\,e^{-k\,t_1}.

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