Seja
uma grandeza física qualquer (concentração de substância, temperatura, deslocamento espacial, população, investimento, etc) e
designa tempo. Assuma que a taxa de variação (temporal) de
é proporcional à
, com uma constante de proporcionalidade
. Pede-se:(a) Uma equação diferencial relacionando
e
.(b) A solução geral da equação acima, na qual devem aparecer duas constantes.(c) Se soubermos os valores de
em dois instantes distintos
e
, é possível calcularmos as constantes acima ? Explique com um exemplo simples.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma grandeza
cuja variação temporal é proporcional ao próprio valor, com constante de proporcionalidade
.
Conteúdo: equação diferencial de crescimento/exponencial. Para resolver, vamos montar a ODE, separar variáveis, integrar e depois ver como ajustar as constantes usando dois pontos.
Conteúdo: equação diferencial de crescimento/exponencial. Para resolver, vamos montar a ODE, separar variáveis, integrar e depois ver como ajustar as constantes usando dois pontos.
Passo 2
Como “a taxa de variação de
é proporcional a
” escrevemos
que é a equação diferencial procurada.
Passo 3
Para resolver
separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração. Exponenciando:
com
. Aqui aparecem duas constantes:
e
.
Passo 4
Suponha que saibamos
e
em dois instantes
. Então
Dividindo as duas equações:
Em seguida, de
obtemos
Logo, conhecendo
e
, determinamos unicamente
e
.
Resposta
(a)
(b) com constantes
e
.
(c) Sim. Se e
, então
(b)
(c) Sim. Se