Resolva os problemas de valor inicial.
\frac{d y}{d t}+2 y=3 \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + 2\,y = 3
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é EDOs lineares de 1ª ordem e o método que vamos usar é o fator integrante.

Passo 2

Para encontrar o fator integrante calculamos
\mu(t) = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{2t}\,\frac{dy}{dt} + 2\,e^{2t}\,y = 3\,e^{2t}
que é equivalente a
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) = 3\,e^{2t}.
Integrando ambos os lados em relação a t:
e^{2t}y = \int 3\,e^{2t}\,dt = \frac{3}{2}\,e^{2t} + C.

Passo 3

Isolando y(t) temos
y(t) = \frac{3}{2} + C\,e^{-2t}.
Usando a condição inicial y(0)=1:
1 = \frac{3}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{2}.
Logo
y(t) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\,e^{-2t}.

Resposta

y(t) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\,e^{-2t}.

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