Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo que contém um impulso
e um termo com degrau . - Condições iniciais
e . - A desejada solução é a função
definida para .]
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Relembrando as fórmulas básicas (explico devagar porque você pediu passo a passo):
- A transformada de Laplace de
chamamos de . - Para derivadas temos
- Para o impulso temos
. - Para o degrau deslocado usamos depois a propriedade de deslocamento no tempo.
Agora aplicando
à equação:
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais
:
Agrupando
obtemos
Logo
Passo 3
Precisamos calcular
. Para trabalhar com degrau deslocado, escrevemos
em função de
:
Assim
com
. Pela propriedade de deslocamento no tempo,
Calculando cada termo (lembre:
):
Portanto
Logo
Substituindo em
:
Vamos inverter cada termo separadamente. Observação:
.
Passo 4
Inversão do primeiro termo:
Sabemos que
. Portanto a contribuição é
Passo 5
Inversão do segundo termo usando propriedade de deslocamento:
Pela propriedade
onde
, temos aqui
e
. Assim
Passo 6
Terceiro termo:
Novamente aplicaremos o deslocamento: a inversa será
onde
. Para encontrar
é conveniente notar que
Se
e
, então no domínio do tempo
com condições iniciais nulas
, porque
foi obtido assumindo condições zero ao inverter. Aqui usei a propriedade que multiplicar por
em
-domínio corresponde a aplicar o operador diferencial
no tempo.
Vamos calcular
explicitamente: invertendo
Então
satisfaz o problema de valor inicial
Passo 7
Resolver
por coeficientes a determinar:
Procuramos uma particular polinomial do mesmo grau do lado direito. Seja
Procuramos uma particular polinomial do mesmo grau do lado direito. Seja
Calculamos derivadas:
Substituindo na equação:
Agrupando termos por potências de
:
Igualando aos coeficientes do lado direito
obtemos o sistema
Resolvendo:
Logo
Passo 8
Agora a solução geral de
é soma da solução da homogênea e da particular:
A homogênea é .
Portanto
A homogênea é
Portanto
Impondo as condições iniciais
e
para determinar
.
Calcule
:
Calcule
. Primeiro derive
:
Em
isso vale
. A derivada da parte particular é
, logo
. Portanto
Como
, obtemos
.
Assim
Passo 9
Voltando ao terceiro termo da solução original, pela propriedade do deslocamento:
Substituindo
em
:
Portanto
Passo 10
Somando as três contribuições
obtemos a solução completa
: