Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O problema pede que resolvamos o problema de valor inicial
Informações dadas:
- O termo de forçamento é
, ou seja, uma distribuição delta centrada em multiplicada por . - As condições iniciais são
e . - A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes, exceto pelo termo singular no tempo
.
O enunciado pede a funçãopara todo .]
Passo 2
Entendendo o que faz a delta de Dirac e qual estratégia:
- A função
tem a propriedade de “peneirar” valores: para qualquer função contínua ,
se
, e é zero se
. Essa é a propriedade de “sifting” (ou amostragem).
- Como a força é um delta em
, a solução será solução da equação homogênea para , com condições apropriadas impostas em e condições de salto em determinadas pela ação do delta. - Assim vamos resolver em duas regiões:
e , impondo continuidade de em e calculando o salto de em integrando a equação através de .
Passo 3
Justificando continuidade de
e obtendo a condição de salto para
:
- Integramos a equação em torno de
, ou seja, em e depois fazemos .
- O lado esquerdo dá
Quando
o segundo termo tende a zero porque a integral de
sobre um intervalo que encolhe é nula. Pelo lado direito, usando a propriedade da delta, obtemos
(já que
está no intervalo).
- Fazendo o limite
obtemos o salto na derivada:
- Para a continuidade de
: integrar no mesmo intervalo dá
Como
tem apenas um salto finito, a integral tende a zero quando
. Logo
:
é contínua em
.
Passo 4
Resolver para
usando as condições iniciais:
- Para
(e incluindo ), a equação é homogênea:
- A solução geral é
porque a equação característica é
com raízes
.
- Impomos
e . Calculando:
- Portanto, para
,
Passo 5
Condições iniciais para a região
a partir do salto:
- Do Passo 3 temos continuidade
e salto . - Como para
achamos , então e . - Assim, para o lado direito de
temos as “condições iniciais” em :
Passo 6
Resolver para
com as condições em
:
- Novamente a equação é homogênea para
:
- É prático mudar a origem: deixe
(então corresponde a ). Em termos de a equação é a mesma e as condições iniciais em são , (a derivada em é a mesma que em ). - A solução geral em
é
Impondo
. Derivando,
- Portanto, em termos de
,
Passo 7
Escrevendo a solução única para todo
- Alternativamente podemos escrever usando a função degrau (H(t-2)]:
]