Resolva os problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=e^{t} \delta(t-2), \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede que resolvamos o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4y = e^{t}\,\delta(t-2),\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=0. \end{cases}
Informações dadas:
  • O termo de forçamento é e^{t}\delta(t-2), ou seja, uma distribuição delta centrada em t=2 multiplicada por e^{t}.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes, exceto pelo termo singular no tempo t=2.
    O enunciado pede a função y(t) para todo t.]

Passo 2

Entendendo o que faz a delta de Dirac e qual estratégia:
  • A função \delta(t-2) tem a propriedade de “peneirar” valores: para qualquer função contínua f,
\int_{a}^{b} f(t)\,\delta(t-2)\,dt = f(2)
se 2\in(a,b), e é zero se 2\notin(a,b). Essa é a propriedade de “sifting” (ou amostragem).
  • Como a força é um delta em t=2, a solução será solução da equação homogênea y''+4y=0 para t\neq2, com condições apropriadas impostas em t=0 e condições de salto em t=2 determinadas pela ação do delta.
  • Assim vamos resolver em duas regiões: 0\le t<2 e t>2, impondo continuidade de y em t=2 e calculando o salto de y' em t=2 integrando a equação através de t=2.

Passo 3

Justificando continuidade de y e obtendo a condição de salto para y':
  • Integramos a equação em torno de t=2, ou seja, em [2-\varepsilon,2+\varepsilon] e depois fazemos \varepsilon\to0^+.
\int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} \big(y''(t)+4y(t)\big)\,dt = \int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} e^{t}\delta(t-2)\,dt.
  • O lado esquerdo dá
\big[y'(t)\big]_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} + 4\int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} y(t)\,dt.
Quando \varepsilon\to0 o segundo termo tende a zero porque a integral de y sobre um intervalo que encolhe é nula. Pelo lado direito, usando a propriedade da delta, obtemos e^{2} (já que 2 está no intervalo).
  • Fazendo o limite \varepsilon\to0 obtemos o salto na derivada:
y'(2^+)-y'(2^-)=e^{2}.
  • Para a continuidade de y: integrar y' no mesmo intervalo dá
y(2^+)-y(2^-)=\int_{2-\varepsilon}^{2+\varepsilon} y'(t)\,dt.
Como y' tem apenas um salto finito, a integral tende a zero quando \varepsilon\to0. Logo y(2^+)=y(2^-): y é contínua em t=2.

Passo 4

Resolver para 0\le t<2 usando as condições iniciais:
  • Para t<2 (e incluindo t=0), a equação é homogênea:
y''+4y=0.
  • A solução geral é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
porque a equação característica é r^{2}+4=0 com raízes \pm 2i.
  • Impomos y(0)=0 e y'(0)=0. Calculando:
y(0)=C_1=0,
y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)\implies y'(0)=2C_2=0\Rightarrow C_2=0.
  • Portanto, para 0\le t<2,
y(t)=0.

Passo 5

Condições iniciais para a região t>2 a partir do salto:
  • Do Passo 3 temos continuidade y(2^-)=y(2^+) e salto y'(2^+)-y'(2^-)=e^{2}.
  • Como para t<2 achamos y(t)\equiv0, então y(2^-)=0 e y'(2^-)=0.
  • Assim, para o lado direito de 2 temos as “condições iniciais” em t=2:
y(2)=0,\qquad y'(2)=e^{2}.

Passo 6

Resolver para t>2 com as condições em t=2:
  • Novamente a equação é homogênea para t>2:
y''+4y=0.
  • É prático mudar a origem: deixe s=t-2 (então s=0 corresponde a t=2). Em termos de s a equação é a mesma e as condições iniciais em s=0 são y(0)=0, y'(0)=e^{2} (a derivada em s é a mesma que em t).
  • A solução geral em s é
y(s)=A\cos(2s)+B\sin(2s).
Impondo y(0)=A=0. Derivando,
y'(s)=-2A\sin(2s)+2B\cos(2s)\implies y'(0)=2B=e^{2}\Rightarrow B=\frac{e^{2}}{2}.
  • Portanto, em termos de s=t-2,
y(t)=\frac{e^{2}}{2}\sin\big(2(t-2)\big),\qquad t>2.

Passo 7

Escrevendo a solução única para todo t\) (forma peça por peça e forma com degrau): - Juntando as duas regiões, a solução é \[y(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[6pt] \dfrac{e^{2}}{2}\sin\big(2(t-2)\big), & t\ge 2. \end{cases}
  • Alternativamente podemos escrever usando a função degrau (H(t-2)]:
    y(t)=H(t-2)\,\frac{e^{2}}{2}\sin\big(2(t-2)\big).]

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[6pt] \dfrac{e^{2}}{2}\sin\big(2(t-2)\big), & t\ge 2. \end{cases}]

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