Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que precisamos encontrar é a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial com a força impulsiva
e as condições iniciais indicadas.]
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace porque ela lida muito bem com condições iniciais e com a distribuição
. Primeiro, lembro a definição e propriedades que vou usar (explicando tudo com calma):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
(para ):
Aqui
é a variável complexa da transformada.
- Transformadas de derivadas (fórmulas fundamentais quando há condições iniciais):
onde
. Essas fórmulas vêm de integrar por partes; o importante é que elas transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
e aparecem termos que dependem de
e
.
- Transformada de uma delta deslocada e multiplicada por uma função suave:
A razão intuitiva: a delta “pega” o valor da função em
e o fator
aparece da definição da Laplace.
- Teorema do deslocamento no tempo (para inverter com um fator exponencial
):
Seentão
onde
é a função degrau de Heaviside (vale
para
e
para
). Isso significa que o fator
na transformada corresponde a um atraso no tempo da função original.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Uso as fórmulas de derivadas e as condições iniciais
,
.
Transformando o lado esquerdo:
Substituindo
e
isso simplifica muito:
Transformando o lado direito: como dado na imagem do enunciado, o termo é
. Usando a propriedade da delta multiplicada por uma função:
Portanto a equação transformada fica
Passo 4
Simplifico a expressão em
. Note que
Logo
Passo 5
Agora vou inverter a transformada. Primeiro reconheço uma transformada conhecida: para qualquer constante
,
Explicando: aplicar a transformada a
pode ser visto como derivar
em relação a
com sinal trocado; o resultado é
. Aqui, com
,
Portanto a função cuja transformada é
é
. Agora use o teorema do deslocamento temporal (o fator
representa atraso de
). Aplicando o teorema:
Multiplicando pelo fator
que estava em
, obtemos
Posso simplificar o expoente:
. Assim
Passo 6
Escrevendo a solução de forma mais explícita e útil na prova, como função por partes (lembrando que
Uma checagem rápida (importante para ter confiança): a solução é contínua em
em
), mas a derivada tem um salto igual a
, como exigido pela presença do impulso
. Para ver isso, calcule a derivada para
:
então
e
, logo o salto
coincide com a integral do lado direito
. Tudo consistente.]