Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=u_{\pi}(t)-u_{2 \pi}(t) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
onde u_a(t) é a função degrau de Heaviside. Vamos usar a transformada de Laplace para lidar com o termo forçante em degraus.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando y(0)=y'(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} +4\,\mathcal{L}\{y\} = \frac{e^{-\pi s}}{s}-\frac{e^{-2\pi s}}{s}
ou seja
(s^2+4)\,Y(s)=\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s), vem
Y(s)=\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s(s^2+4)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição parcial de
\frac{1}{s(s^2+4)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs}{s^2+4}.
Igualando coeficientes resulta A=\tfrac14, B=-\tfrac14. Logo
\frac{1}{s(s^2+4)}=\frac14\Bigl(\frac1s - \frac{s}{s^2+4}\Bigr).
Tomando a transformada inversa, definimos
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s(s^2+4)}\Bigr\} =\frac14\bigl(1-\cos(2t)\bigr).
Pelo teorema do deslocamento,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u_a(t).
Assim
y(t)=f(t-\pi)\,u_{\pi}(t)\;-\;f(t-2\pi)\,u_{2\pi}(t).

Passo 5

Observando que \cos(2(t-\pi))=\cos(2t) e \cos(2(t-2\pi))=\cos(2t), temos
y(t)=\bigl[\tfrac14-\tfrac14\cos(2t)\bigr]\bigl(u_{\pi}(t)-u_{2\pi}(t)\bigr).
Em forma de peça-a-peça:
y(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\pi,\\\ \tfrac14\bigl(1-\cos(2t)\bigr), & \pi\le t<2\pi,\\\\ 0, & t\ge2\pi. \end{cases}

Resposta

y(t)=\bigl[\tfrac14-\tfrac14\cos(2t)\bigr]\bigl(u_{\pi}(t)-u_{2\pi}(t)\bigr).

Exercícios relacionados