Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=u_{\pi}(t)-u_{2 \pi}(t) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde u_a(t) é a função degrau unitário em t=a. O conteúdo é transformada de Laplace para equações lineares com termos por partes; vamos precisar das propriedades
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e
\mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s).

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados e usando y(0)=y'(0)=0 e \mathcal{L}\{u_a(t)\}=e^{-as}/s, obtemos
s^2Y(s) + 4Y(s) = \frac{e^{-\pi s}}{s} - \frac{e^{-2\pi s}}{s}.
Logo,
Y(s) = \frac{1}{s(s^2+4)}\Bigl(e^{-\pi s} - e^{-2\pi s}\Bigr).

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{s(s^2+4)}.
Procuramos A,B tais que
\frac{1}{s(s^2+4)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs}{s^2+4}.
Multiplicando por s(s^2+4)
1 = A(s^2+4) + B s^2 = (A+B)s^2 + 4A,
de onde A+B=0 e 4A=1. Assim A=\tfrac14, B=-\tfrac14, e
\frac{1}{s(s^2+4)} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+4}\Bigr).
Portanto
Y(s) = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+4}\Bigr)\bigl(e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}\bigr).

Passo 4

Invertemos termo a termo usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1 e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos(2t), junto à propriedade de tempo retardado:
y(t) = \frac{1}{4}\Bigl[\bigl(u_{\pi}(t)\cdot1 - u_{2\pi}(t)\cdot1\bigr) - \bigl(u_{\pi}(t)\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr) - u_{2\pi}(t)\cos\bigl(2(t-2\pi)\bigr)\bigr)\Bigr].
Agrupando os degraus,
y(t) = \frac{1}{4}\Bigl[u_{\pi}(t)\bigl(1-\cos(2(t-\pi))\bigr) - u_{2\pi}(t)\bigl(1-\cos(2(t-2\pi))\bigr)\Bigr].

Passo 5

Note que para t<\pi ambos u_{\pi} e u_{2\pi} valem zero, logo y(t)=0.
Para \pi\le t<2\pi u_{\pi}=1, então
y(t)=\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2(t-\pi))\bigr).
Para t\ge2\pi os dois termos atuam e se cancelam, restando y(t)=0.

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\[6pt] \dfrac{1}{4}\bigl(1-\cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)\bigr), & \pi\le t<2\pi,\\[6pt] 0, & t\ge2\pi. \end{cases}]

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