Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=u_{3 \pi}(t) \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+y = u_{3\pi}(t), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
onde u_{3\pi}(t) é a função degrau unitário que vale 0 para t<3\pi e 1 para t\ge3\pi. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com forçamento em degrau; vamos resolver em dois intervalos: antes e depois de t=3\pi.

Passo 2

Para 0\le t<3\pi temos u_{3\pi}(t)=0, então a EDO fica homogênea
y''+y=0.
A solução geral é
y(t)=A\cos t + B\sin t.

Passo 3

Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=A=1 e
y'(t)=-A\sin t+B\cos t\implies y'(0)=B=0.
Logo, para 0\le t<3\pi,
y(t)=\cos t.

Passo 4

Para t\ge3\pi temos u_{3\pi}(t)=1, então
y''+y=1.
Uma particular constante é y_p=1, e a homogênea continua C\cos t+D\sin t. Assim
y(t)=1 + C\cos t + D\sin t \quad\text{para }t\ge3\pi.

Passo 5

Impondo continuidade de y e y' em t=3\pi:
em t=3\pi^-, y= \cos(3\pi)=-1, y'=-\sin(3\pi)=0.
Em t=3\pi^+:
y(3\pi)=1 + C\cos(3\pi)+D\sin(3\pi) =1 -C, \quad y'(3\pi)=-C\sin(3\pi)+D\cos(3\pi)=-D.
Igualando, 1-C=-1\implies C=2 e -D=0\implies D=0.

Resposta

Para 0\le t<3\pi:
y(t)=\cos t.
Para t\ge3\pi:
y(t)=1 + 2\cos t.

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