Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=u_{2}(t) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define o problema de valor inicial
y''+3y'+2y = u_{2}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
onde u_{2}(t) é o degrau unitário deslocado em t=2.
O conteúdo necessário é Transformada de Laplace e o Teorema de Deslocamento no domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1
e
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
temos
\mathcal{L}\{y''+3y'+2y\} =(s^2+3s+2)Y(s)-1.
Como \mathcal{L}\{u_{2}(t)\}=e^{-2s}/s, obtemos
(s^2+3s+2)Y(s)-1 = \frac{e^{-2s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s) chega-se a
(s^2+3s+2)Y(s) = 1 + \frac{e^{-2s}}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^2+3s+2} \;+\;\frac{e^{-2s}}{s\,(s^2+3s+2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada termo:
  1. Para \dfrac1{s^2+3s+2}=\dfrac1{(s+1)(s+2)} vem
\frac1{s^2+3s+2} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
  1. Para \dfrac1{s(s^2+3s+2)} supomos
\frac1{s(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2},
e determinamos
A=\tfrac12,\quad B=-1,\quad C=\tfrac12,
logo
\frac1{s(s^2+3s+2)} =\frac{1/2}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1/2}{s+2}.

Passo 5

Agora invertemos termo a termo. Primeiro
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\tfrac1{s+1}\Bigr)=e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl(\tfrac1{s+2}\Bigr)=e^{-2t}.
Para as parcelas com e^{-2s} usamos o Teorema de Deslocamento:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}F(s)\}=u(t-2)\,f(t-2).
Assim obtemos
y(t) =\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) +u(t-2)\Bigl(\tfrac12 -e^{-(t-2)}+\tfrac12\,e^{-2(t-2)}\Bigr).

Passo 6

Podemos notar que
\tfrac12 - e^{-(t-2)}+\tfrac12\,e^{-2(t-2)} =\tfrac12\bigl(1 - e^{-(t-2)}\bigr)^2,
ficando a solução mais compacta:
y(t) =e^{-t}-e^{-2t} +\tfrac12\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr)^2\,u(t-2).

Resposta

y(t) =e^{-t}-e^{-2t} +\tfrac12\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr)^2\,u(t-2).

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