Resolva os problemas de valor inicial
(i) \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y}{x-2 y} \\\ y(1)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{\,x - 2y\,},\\\ y(1) = 3. \end{cases}
Este é uma equação diferencial em que o numerador e o denominador são polinômios de grau 1 em x e y, logo a razão é função homogênea de grau zero. Para resolver, usaremos a substituição clássica para equações homogêneas:
y = u\,x,\quad\text{com }u = u(x).

Passo 2

Como y = u x, temos
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x - u x}{\,x - 2u x\,} = \frac{x(2 - u)}{\,x(1 - 2u)\,} = \frac{2 - u}{1 - 2u}.

Passo 3

Isolando \displaystyle \frac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx} = \frac{2 - u}{1 - 2u} - u = \frac{2 - u - u(1 - 2u)}{1 - 2u} = \frac{2 - 2u + 2u^2}{1 - 2u} = \frac{2\bigl(u^2 - u +1\bigr)}{1 - 2u}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = 2\,\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = \int 2\,\frac{dx}{x}.
Note que d(u^2 - u +1) = (2u -1)\,du, então
\frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = -\frac{2u -1}{u^2 - u +1}\,du = -d\bigl[\ln(u^2 - u +1)\bigr].
Logo,
-\ln\bigl(u^2 - u +1\bigr) = 2\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad u^2 - u +1 = \frac{K}{x^2},
onde K = e^{-C} é constante de integração.

Passo 5

Voltando a u = y/x, obtemos a solução implícita:
\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} - \frac{y}{x} + 1 = \frac{K}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 - x y + x^2 = K.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=3:
3^2 - 1\cdot3 + 1^2 = K \quad\Longrightarrow\quad 9 - 3 + 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad K = 7.
Então a solução implícita fica
y^2 - x y + x^2 = 7.

Passo 7

Para obter y explicitamente, resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 - x y + (x^2 -7) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 -7)}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.
Como queremos y(1)=3, escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2},}
com domínio onde 28 - 3x^2 \ge 0.

Exercícios relacionados