Resolva os problemas de valor inicial (i) \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y}{x-2 y} \\\ y(1)=3\end{array}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o valor inicial \begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{\,x - 2y\,},\\\ y(1) = 3. \end{cases} Este é uma equação diferencial em que o numerador e o denominador são polinômios de grau 1 em x e y, logo a razão é função homogênea de grau zero. Para resolver, usaremos a substituição clássica para equações homogêneas: y = u\,x,\quad\text{com }u = u(x). Passo 2Como y = u x, temos \frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}. Substituindo na equação original: u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x - u x}{\,x - 2u x\,} = \frac{x(2 - u)}{\,x(1 - 2u)\,} = \frac{2 - u}{1 - 2u}. Passo 3Isolando \displaystyle \frac{du}{dx}: x\frac{du}{dx} = \frac{2 - u}{1 - 2u} - u = \frac{2 - u - u(1 - 2u)}{1 - 2u} = \frac{2 - 2u + 2u^2}{1 - 2u} = \frac{2\bigl(u^2 - u +1\bigr)}{1 - 2u}. Passo 4Agora separamos variáveis: \frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = 2\,\frac{dx}{x}. Integramos ambos os lados: \int \frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = \int 2\,\frac{dx}{x}. Note que d(u^2 - u +1) = (2u -1)\,du, então \frac{1 - 2u}{u^2 - u +1}\,du = -\frac{2u -1}{u^2 - u +1}\,du = -d\bigl[\ln(u^2 - u +1)\bigr]. Logo, -\ln\bigl(u^2 - u +1\bigr) = 2\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad u^2 - u +1 = \frac{K}{x^2}, onde K = e^{-C} é constante de integração. Passo 5Voltando a u = y/x, obtemos a solução implícita: \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} - \frac{y}{x} + 1 = \frac{K}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 - x y + x^2 = K. Passo 6Aplicando a condição inicial y(1)=3: 3^2 - 1\cdot3 + 1^2 = K \quad\Longrightarrow\quad 9 - 3 + 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad K = 7. Então a solução implícita fica y^2 - x y + x^2 = 7. Passo 7Para obter y explicitamente, resolvemos a equação quadrática em y: y^2 - x y + (x^2 -7) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 -7)}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{28 - 3x^2}}{2}. Como queremos y(1)=3, escolhemos o sinal “ +”. Resposta \boxed{y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2},} com domínio onde 28 - 3x^2 \ge 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os problemas de valor inicial (b) \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1} \\\ y(2)=2\end{array}\right. Resolva os problemas de valor inicial (a) \left\{\begin{array}{l}\left(e^{-y}+1\right) \operatorname{sen} x d x=(1+\cos x) d y \\\ y(0)=0\end{array}\right. Resolva os problemas de valor inicial (i) \left\{\begin{array}{l}x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} \\\ y(1)=3\end{array}\right. Resolva os problemas de valor inicial (k) \left\{\begin{array}{l}y^{2} d x+\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) d y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.