Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é reconhecer que não é exata à primeira vista, então vamos colocar no formato
O conteúdo aqui é reconhecer que não é exata à primeira vista, então vamos colocar no formato
e buscar um fator integrante em função de
.
Passo 2
Reescrevendo em
temos
Calculamos
como são diferentes, a equação não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante
em função só de
, usamos
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicando toda a equação original por
, obtemos
com
Agora verificamos que
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo a solução geral implícita é
Passo 6
Multiplicamos por
para simplificar:
onde
. Reescrevendo,
Usamos
:
Passo 7
Com
a relação implícita é
Para satisfazer
escolhemos o sinal que dá
, ou seja,