Resolva a equação diferencial com substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
-\,y\,dx \;+\;\bigl(x+\sqrt{x\,y}\bigr)\,dy \;=\;0
Note que ambos os termos M(x,y)=-y e N(x,y)=x+\sqrt{xy} são homogêneos de grau 1. Assim, podemos usar a substituição típica de equações homogêneas
y = v\,x,
para transformar a ODE em separável.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=\cdots. Da equação dada,
-\,y\,dx + \bigl(x+\sqrt{x\,y}\bigr)\,dy=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x+\sqrt{x\,y}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y}{\,x + \sqrt{x\,y}\,}.

Passo 3

Como é homogênea, fazemos y=vx. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}, \qquad \sqrt{x\,y} = \sqrt{x\cdot (v\,x)} = x\sqrt{v}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+\sqrt{xy}}, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v\,x}{\,x + x\sqrt{v}\,} = \frac{v}{1+\sqrt{v}}.
Rearranjando,
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+\sqrt{v}} - v = -\,\frac{v\,\sqrt{v}}{1+\sqrt{v}} = -\,\frac{v^{3/2}}{1+\sqrt{v}}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{1+\sqrt{v}}{v^{3/2}}\,dv = -\,\frac{dx}{x}.
Observe que
\frac{1+\sqrt{v}}{v^{3/2}} = v^{-3/2} + v^{-1}.
Integrando ambos os lados:
\int\bigl(v^{-3/2}+v^{-1}\bigr)\,dv = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-2\,v^{-1/2} + \ln|v|\Bigr) = -\ln|x| + C.

Passo 5

Volta a variável y usando v=\frac{y}{x}. Temos
-2\,\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln v = -\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad -2\,\sqrt{\frac{x}{y}} + \ln\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = -\ln x + C.
Repare que \ln(\tfrac{y}{x}) + \ln x = \ln y. Logo
-2\,\sqrt{\frac{x}{y}} + \ln y = C \;\;\Longrightarrow\;\; \ln y - 2\,\sqrt{\frac{x}{y}} = C.

Resposta

A solução geral é
\ln y \;-\; 2\,\sqrt{\frac{x}{y}} \;=\; C,
com C constante de integração.

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