Resolva os problemas de valor inicial.
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d x=x y d y, y(-1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)\,dx \;=\; x\,y\,dy
com condição inicial y(-1)=1.
O conteúdo aqui é reconhecer que não é exata à primeira vista, então vamos colocar no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e buscar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Reescrevendo em M\,dx+N\,dy=0 temos
M(x,y) = x^{2}+2y^{2}, \quad N(x,y) = -x\,y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -\,y,
como são diferentes, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante \mu(x) em função só de x, usamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{4y -(-y)}{-x\,y} =\frac{5y}{-x\,y} =-\frac{5}{x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{5}{x}\,dx\Bigr) = x^{-5}.

Passo 4

Multiplicando toda a equação original por x^{-5}, obtemos
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0
com
M^*(x,y) = x^{-5}(x^{2}+2y^{2}) = x^{-3} + 2y^{2}x^{-5}, \quad N^*(x,y) = -x^{-4}y.
Agora verificamos que
\frac{\partial M^*}{\partial y} = 4y\,x^{-5}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} = 4y\,x^{-5},
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M^*(x,y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N^*(x,y).
Integrando \partial\Phi/\partial x = x^{-3}+2y^{2}x^{-5} em relação a x:
\Phi(x,y) = \int x^{-3}\,dx + 2y^{2}\int x^{-5}\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{-2} - \tfrac{y^{2}}{2}x^{-4} + h(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{y}{x^{4}} + h'(y) \overset{!}{=} -\frac{y}{x^{4}} \;\longrightarrow\; h'(y)=0 \;\longrightarrow\; h(y)=\text{const}.
Logo a solução geral implícita é
-\tfrac{1}{2}x^{-2} - \tfrac{y^{2}}{2}x^{-4} = C.

Passo 6

Multiplicamos por -2 para simplificar:
x^{-2} + y^{2}x^{-4} = K,
onde K=-2C. Reescrevendo,
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}} = K \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=K\,x^{4}.
Usamos y(-1)=1:
(-1)^{2} + 1^{2} = K\cdot(-1)^{4} \quad\Longrightarrow\quad 1 + 1 = K \quad\Longrightarrow\quad K=2.

Passo 7

Com K=2 a relação implícita é
x^{2} + y^{2} = 2x^{4} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 2x^{4} - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm x\sqrt{2x^{2}-1}.
Para satisfazer y(-1)=1 escolhemos o sinal que dá \;y(-1)=1, ou seja,
y(x) = -\,x\sqrt{2x^{2}-1}.

Resposta

\boxed{y(x) = -\,x\sqrt{2x^{2}-1},\quad y(-1)=1.}

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