Resolva os problemas de valor inicial:
9 x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0 ; y(1)=1 ; y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Cauchy–Euler
9x^2y''+3xy'+y=0
com as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=0.
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=x^m, obter a equação característica, resolver para m, montar a solução geral e depois ajustar as constantes pelos valores em x=1.

Passo 2

Como é uma EDO de Euler–Cauchy, tentamos
y=x^m
logo
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2
Substituindo em
9x^2y''+3xy'+y=0
vem
9x^2l[m(m-1)x^m-2r]+3xl[mx^m-1r]+x^m=0 ;Longrightarrow; l[9m(m-1)+3m+1r]x^m=0,
de onde surge a equação característica
9m(m-1)+3m+1=0

Passo 3

Expandindo a equação característica:
9m^2-9m+3m+1=9m^2-6m+1=0
O discriminante é
De<a =(-6)^2-4cdot9cdot1=36-36=0,
logo há raiz dupla
m=618=tfrac13

Passo 4

Para raiz dupla m=tfrac13, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é
y(x)=C1,x^tfrac13+C2,x^tfrac13ln(x)

Passo 5

Ajustamos C1 e C2 pelas condições em x=1:
  1. y(1)=1
1 = C1cdot1^tfrac13+C2cdot1^tfrac13ln(1) ;Longrightarrow; C1=1
  1. Calculamos
y'(x)=ddxl[x^tfrac13l(C1+C2ln xr)r] =x^-tfrac23l[tfrac13C1+C2l(1+tfrac13ln xr)r]
Impondo y'(1)=0 e usando C1=1:
0 = 1^-tfrac23l[tfrac13cdot1 + C2l(1+0r)r] ;Longrightarrow; tfrac13+C2=0 ;Longrightarrow; C2=-tfrac13

Resposta

boxedy(x)=x^tfrac13l(1-tfrac13ln xr)

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