Prove que
\int_{-\pi}^{\pi} \sin n t \sin m t d t=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & m \neq n \\\ \pi & \text { se } & m, n \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das senos no intervalo [-\pi,\pi], isto é, provar que
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nt)\,\sin(mt)\,dt = \begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \pi,&m=n\ge1. \end{cases}
O conteúdo principal será aplicar a identidade trigonométrica de produto para soma e usar integrais de cossenos em múltiplos inteiros.

Passo 2

Usamos a identidade de produto para soma:
\sin(nt)\,\sin(mt) = \frac{1}{2}\bigl(\cos((n-m)t)-\cos((n+m)t)\bigr).

Passo 3

Integramos de -\pi a \pi e aplicamos linearidade:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nt)\,\sin(mt)\,dt = \frac{1}{2}\Bigl( \int_{-\pi}^{\pi}\cos((n-m)t)\,dt - \int_{-\pi}^{\pi}\cos((n+m)t)\,dt \Bigr).

Passo 4

Se m\neq n, então k=n-m e k'=n+m são inteiros não nulos. Para qualquer inteiro k\neq0 vale
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kt)\,dt =\Bigl[\tfrac{\sin(kt)}{k}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\frac{\sin(k\pi)-\sin(-k\pi)}{k} =0.
Logo cada um dos dois integrandos é zero, e o integral total é zero.

Passo 5

Se m=n, então \sin(nt)\sin(mt)=\sin^2(nt). Usamos
\sin^2(nt)=\frac{1-\cos(2nt)}{2},
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\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nt)\,dt = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2nt)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}dt-\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nt)\,dt\Bigr) = \frac{1}{2}(2\pi-0) =\pi.

Resposta

\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nt)\,\sin(mt)\,dt = \begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \pi,&m=n\ge1. \end{cases}

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