Seja
uma constante. Seja
. Mostre que
(Sugestão: derive uma vez e use as transformadas de Laplace de
.) Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado tem duas tarefas claras:
-
Mostrar que a transformada de Laplace de
-
Resolver o problema de valor inicial
Informações dadas e que vamos usar: a constante
para termos com
.]
Passo 2
Primeiro vou deduzir uma propriedade importante que facilita muito: se
tem transformada
então a transformada de
é
Explicação (passo a passo): pela definição,
Podemos ver isso como a derivada em relação a
de
. Mais formalmente, diferenciando
sob o sinal de integral (condições de convergência garantem que isto é válido para
) temos
Logo
Passo 3
Usando a propriedade do Passo 2, para
basta conhecer
. Pela transformada padrão,
Aplicando a regra do passo anterior,
Passo 4
Calculemos a derivada explicitamente. Seja
Usamos a regra do quociente:
Portanto, pela propriedade do passo 2,
Isso mostra exatamente o resultado pedido.
Passo 5
Agora resolvemos o problema de valor inicial por transformada de Laplace. Denote
. Tomando Laplace dos dois lados da equação diferencial e usando as fórmulas
obtemos
Substituindo
e
,
Passo 6
Simplificando o lado esquerdo:
Agora a transformada do lado direito: primeiro
. A multiplicação por
corresponde à mudança
, logo
Note que
. Assim a equação em
fica
Isolando
,
(Escrevi como soma, colocando o termo
sobre o mesmo denominador
.)
Passo 7
Vamos inverter a transformada termo a termo. É conveniente fazer a substituição
mentalmente (propriedade de deslocamento): a inversa de uma expressão em
recebe um fator
. Escrevendo com
temos
Separe o primeiro quociente:
Recordando transformadas básicas:
Pelo deslocamento
, isso corresponde a termos na função solução multiplicados por
. Assim a inversa do primeiro pedaço é
Passo 8
Falta inverter o segundo termo
. Precisamos da transformada inversa de
. Já que no Passo 3 deduzimos transformadas com fator
, podemos usar a combinação linear:
procuramos tal que
procuramos
Uma identidade conveniente (que pode ser obtida resolvendo um sistema linear entre
e
) é
Breve verificação: aplicando
aos dois termos do lado direito e combinando dá
. Para nosso caso
, obtemos
Multiplicando por
(porque temos
) dá
E, novamente pelo deslocamento
, devemos multiplicar tudo por
.
Passo 9
Somando as inversas dos dois termos e lembrando do fator
que vem de
, temos
Agrupando termos semelhantes (especialmente os de
):
Logo a solução final é
Uma checagem rápida nos valores iniciais confirma: para
obtemos
; derivando e avaliando em
dá
, compatível com as condições iniciais.