Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 , em que f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\ 2, & \text { para } \pi \leq t<2 \pi \\ 0, & \text { para } t \geq 2 \pi\end{cases}
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+2y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
onde f(t)\) é a função por partes
\[f(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 2, & \pi\le t<2\pi,\\[4pt] 0, & t\ge 2\pi. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento f(t)\] descontínuo (por partes).
- Condições iniciais: \(y(0)=0 e y'(0)=1.
- A função f(t) vale 2 apenas no intervalo [\pi,2\pi) e 0 fora dele.]
Passo 2
Escolhemos trabalhar com a transformada de Laplace porque:
transforma a EDO em uma equação algébrica em s;
lida bem com condições iniciais e com funções por partes usando o operador de salto (função degrau de Heaviside);
após resolver em s aplicamos a transformada inversa, usando a propriedade de deslocamento no tempo para tratar os saltos.
Antes de aplicar, lembro rapidamente as fórmulas que usarei:
Derivadas: \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Deslocamento: \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s), onde u é a função degrau e G(s)=\mathcal{L}\{g\}.
Produto em s com 1/s corresponde a integral-convolução no tempo: \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}H(s)\}=\int_0^t h(\tau)\,d\tau, onde h=\mathcal{L}^{-1}\{H\}.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y\}, temos