Resolva as equações diferenciais.
y^prime prime-4 y=6 x-4 x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
y'' - 4y = 6x - 4x^3
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. O que isso significa? Que a equação tem uma parte que depende de $ y $ e suas derivadas (chamada parte homogênea) e outra que é uma função de $ x $ (chamada parte não homogênea ou forçada).
Para resolver, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada ($ y’’ - 4y = 0 $).
  2. Encontrar uma solução particular para a parte não homogênea ($ 6x - 4x^3 $).
  3. Somar essas duas soluções para obter a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' - 4y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
y = e^rx
r
Substituindo na equação homogênea:
y' = r e^rx
Dividindo ambos os lados por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
y'' = r^2 e^rx
Resolvendo para $ r $:
r^2 e^rx - 4 e^rx = 0
e^rx
Então, as soluções da equação homogênea são:
r^2 - 4 = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
y'' - 4y = 6x - 4x^3
A parte não homogênea é um polinômio de terceiro grau ($ -4x^3 + 6x $). Para encontrar uma solução particular, assumimos que ela também é um polinômio de mesmo grau. Então, vamos supor que:
-4x^3 + 6x
Agora, calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D
yp
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp' = 3Ax^2 + 2Bx + C
Distribuindo o -4:
yp'' = 6Ax + 2B
Agora, agrupamos os termos por potenciais de $ x $:
yp
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ dos dois lados da equação:
  1. Para $ x^3 $:
    yp'
    yp''
  2. Para $ x^2 $:
    (6Ax + 2B) - 4(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = 6x - 4x^3
    6Ax + 2B - 4Ax^3 - 4Bx^2 - 4Cx - 4D = 6x - 4x^3
  3. Para $ x $:
    x
    Substituindo $ A = 1 $:
    -4Ax^3 - 4Bx^2 + (6A - 4C)x + (2B - 4D) = -4x^3 + 0x^2 + 6x + 0
    x
    x^3
    -4A = -4
  4. Para o termo livre:
    A = 1
    Substituindo $ B = 0 $:
    x^2
    -4B = 0
Então, encontramos $ A = 1 $, $ B = 0 $, $ C = 0 $, e $ D = 0 $. Portanto, a solução particular é:
B = 0

Passo 4

Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y = yh + yp
Substituindo as soluções que encontramos:
y = C1 e^2x + C2 e^-2x + x^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-2x + x^3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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