Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. O que isso significa? Que a equação tem uma parte que depende de $ y $ e suas derivadas (chamada parte homogênea) e outra que é uma função de $ x $ (chamada parte não homogênea ou forçada).
Para resolver, vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada ($ y’’ - 4y = 0 $).
- Encontrar uma solução particular para a parte não homogênea ($ 6x - 4x^3 $).
- Somar essas duas soluções para obter a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Resolvendo para $ r $:
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
A parte não homogênea é um polinômio de terceiro grau ($ -4x^3 + 6x $). Para encontrar uma solução particular, assumimos que ela também é um polinômio de mesmo grau. Então, vamos supor que:
Agora, calculamos as derivadas de $ y_p $:
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Distribuindo o -4:
Agora, agrupamos os termos por potenciais de $ x $:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ dos dois lados da equação:
-
Para $ x^3 $:
-
Para $ x^2 $:
-
Para $ x $:
Substituindo $ A = 1 $:
-
Para o termo livre:
Substituindo $ B = 0 $:
Então, encontramos $ A = 1 $, $ B = 0 $, $ C = 0 $, e $ D = 0 $. Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Substituindo as soluções que encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.