Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ lx d x+y e^-x d y=0 y(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
x,dx + y,e^-x,dy = 0
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é equações de primeira ordem separáveis: vamos reescrever em forma dy/dx e separar variáveis.

Passo 2

Reescrevendo em termos de y'=dy/dx, dividimos por dx:
x + y,e^-x,y' = 0 Longrightarrow y' = dydx = -xy,e^x

Passo 3

Agora separam-se as variáveis y e x:
dydx = -x,e^xy Longrightarrow y,dy = -x,e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral -,x,e^x,dx
À esquerda vem
y^22,
e à direita usamos integração por partes em integral x e^xdx:
integral -x e^xdx = -l(x e^x-integral e^xdxr) = -x e^x + e^x
Logo
y^22 = -,x e^x + e^x + C

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=1:
1^22 = -0cdot e^0 + e^0 + C Longrightarrow 12 = 1 + C Longrightarrow C = -tfrac12
Assim
y^22 = e^x(1 - x) - tfrac12 Longrightarrow y^2 = 2,e^x(1 - x) - 1

Resposta

y(x) = raiz,2,e^x(1 - x);-;1,,
onde escolhemos o sinal positivo para satisfazer y(0)=1.

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