Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ ly^prime=(1-2 x) / y y(1)=-2\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=1-2xy, y(1)=-2
O método é separação de variáveis, pois a equação pode ser escrita como produto de função de y e função de x.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
y,dy = (1-2x),dx
e integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral (1-2x),dx Longrightarrow y^22 = x - x^2 + C

Passo 3

Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
y^2 = 2x - 2x^2 + C'
Para determinar C', usamos y(1)=-2:
(-2)^2 = 2cdot1 - 2cdot1^2 + C' Longrightarrow 4 = 2 - 2 + C' Longrightarrow C' = 4
Logo
y^2 = -2x^2 + 2x + 4

Passo 4

Extraindo a raiz quadrada,
y = pmraiz-2x^2 + 2x + 4
Como a condição inicial dá y(1)=-2, escolhemos o sinal negativo. Portanto,
y(x) = -raiz-2x^2 + 2x + 4

Resposta

y(x) = -raiz-2x^2 + 2x + 4

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