Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ \right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = x,y^3,(1+x^2)^-tfrac12, y(0)=1
O conteúdo aqui é equação diferencial separável de primeira ordem. Vamos separar as variáveis y e x, integrar ambos os lados e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy^3 ;=;x,dxraiz1+x^2
Aqui colocamos tudo que envolve y do lado esquerdo e tudo que envolve x do lado direito.

Passo 3

Integre cada membro:
integral y^-3,dy = integral xraiz1+x^2,dx
No lado esquerdo
integral y^-3,dy = -tfrac12,y^-2 + C1,
e no direito, lembrando que ddxl(raiz1+x^2r)=tfracxraiz1+x^2,
integral xraiz1+x^2,dx = raiz1+x^2 + C2

Passo 4

Junte as constantes ( C=C2-C1) e escreva a relação implícita geral:
-tfrac12,y^2 = raiz1+x^2 + C

Passo 5

Aplique a condição inicial (x,y)=(0,1):
-tfrac12cdot1^2 = raiz1+0^2 + C Longrightarrow -tfrac12 = 1 + C Longrightarrow C = -tfrac32

Passo 6

Substitua C e isole y:
-tfrac12,y^2 = raiz1+x^2 - tfrac32 Longrightarrow 1y^2 = 3 - 2raiz1+x^2 Longrightarrow y = l(3 - 2raiz1+x^2r)^-tfrac12
Escolhemos o sinal positivo para satisfazer y(0)=1.

Resposta

y(x) = 1raiz3 - 2raiz1+x^2

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