Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ l(9 x^2+y-1) d x-(4 y-x) d y=0, y(1)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(9x^2+y-1),dx - (4y - x),dy = 0, y(1)=0
e pede a solução y(x).
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos checar exatidão, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=9x^2+y-1, partial phipartial y=x-4y,
e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
partialpartial y(9x^2+y-1)=1, partialpartial x(x-4y)=1
Como ambas derivadas coincidem, a equação é exata e existe phi(x,y) tal que
phix=9x^2+y-1 e phiy=x-4y.

Passo 3

Integramos phix=9x^2+y-1 em relação a x:
phi(x,y)=integral(9x^2+y-1),dx =3x^3+(y-1)x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora exigimos phiy=x-4y, então
phiy = x + h'(y)stackrel!=x-4y ;Longrightarrow; h'(y)=-4y ;Longrightarrow; h(y)=-2y^2+C
Logo, desprezando constante absoluta,
phi(x,y)=3x^3 + x(y-1) -2y^2

Passo 4

A solução geral implícita é
phi(x,y)=C ;Longrightarrow; 3x^3 + x y - x -2y^2 = C
Usando y(1)=0 em phi(1,0)=3cdot1^3 + 1cdot0 -1 -0 =2, obtemos C=2.
Portanto a relação implícita final é
3x^3 + x y - x -2y^2 = 2

Passo 5

Para explicitar y, reorganizamos como equação quadrática em y:
-2y^2 + x y + (3x^3 - x -2)=0 ;Long<=ftrightarrow; 2y^2 - x y + (x+2-3x^3)=0
Pela fórmula de Baskhara,
y(x) =x pm raizx^2 -4cdot2,(x+2-3x^3)4 =x pm raiz24x^3 + x^2 -8x -164
Como y(1)=0, escolhemos o sinal “ -”.

Resposta

y(x) =x - raiz24x^3 + x^2 -8x -164

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