Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede a solução
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos checar exatidão, encontrar uma função potencial tal que
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos checar exatidão, encontrar uma função potencial
e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Verificamos exatidão calculando
Como ambas derivadas coincidem, a equação é exata e existe
tal que
e
.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Agora exigimos , então
Agora exigimos
Logo, desprezando constante absoluta,
Passo 4
A solução geral implícita é
Usando
em
, obtemos
.
Portanto a relação implícita final é
Portanto a relação implícita final é
Passo 5
Para explicitar
, reorganizamos como equação quadrática em
:
Pela fórmula de Baskhara,
Como
, escolhemos o sinal “
”.