Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ lsen(2 x) d x+cos (3 y) d y=0 y(pi / 2)=pi / 3\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
sin(2x),dx + cos(3y),dy = 0,
com condição inicial y(pi/2)=pi/3. Esse é um problema de equação diferencial separável.

Passo 2

Separe as variáveis, passando o termo em y para um lado e o termo em x para o outro:
cos(3y),dy = -sin(2x),dx,

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral cos(3y),dy = integral -sin(2x),dx
No lado esquerdo
integral cos(3y),dy = 13sin(3y),
e no direito
integral -sin(2x),dx = 12cos(2x) + C
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13sin(3y) = 12cos(2x) + C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(pi/2)=pi/3. Substituindo x=pi/2 e y=pi/3:
13sin!l(3cdottfracpi3r) = 12cos!l(2cdottfracpi2r) + C Rightarrow 0 = -tfrac12 + C Rightarrow C = tfrac12

Passo 5

Substituindo C=tfrac12 na relação geral:
13sin(3y) = 12cos(2x) + 12 Longrightarrow sin(3y) = 32l(cos(2x)+1r)
Como cos(2x)+1=2cos^2(x), fatora-se ainda:
sin(3y) = 3cos^2(x)

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(pi/2)=pi/3 é
boxedsin(3y) = 3cos^2(x)
Em princípio pode-se também escrever, de modo explícito,
y(x) = 13arcsinl(3cos^2(x)r),
respeitando o ramo apropriado de arcsin.

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