Resolva os Problemas de valor inicial a seguir:
\left{ lx1^prime=4 x1+3 x2 x2^prime=x1+2 x2 x1(0)=0, x2(0)=2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com coeficientes constantes
x1' = 4x1 + 3x2, x2' = x1 + 2x2,
e condições iniciais x1(0)=0, x2(0)=2. Aqui o método envolve escrever x' = A x, achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e usar as condições iniciais.

Passo 2

Identificamos a matriz
A = 4 & 3 1 & 2
e calculamos seu polinômio característico
det(A - lambda I) = det!4-lambda & 3 1 & 2-lambda = (4-lambda)(2-lambda) - 3cdot1 = lambda^2 - 6lambda + 5
Resolvendo lambda^2 - 6lambda + 5 = 0 obtemos
lambda1 = 5, lambda2 = 1

Passo 3

Para resolvemos , isto é,
Escolhemos o autovetor
Para resolvemos , isto é,
Escolhemos

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t) = C1,e^5t,v1 + C2,e^t,v2 = C1e^5t31 + C2e^t1-1

Passo 5

Impondo
isto é,
Daí .

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos
x1(t) = tfrac12cdot3,e^5t ;+; (-tfrac32),e^t = tfrac32l(e^5t-e^tr),
x2(t) = tfrac12,e^5t ;+; (-tfrac32)(-1),e^t = tfrac12l(e^5t+3e^tr)

Resposta

x1(t)=32l(e^5t-e^tr)
x2(t)=12l(e^5t+3e^tr)

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