Resolva os Problemas de valor inicial a seguir:
\left{ lx1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=2 x1-2 x2 x1(0)=0, x2(0)=-1\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear de ODEs
x1' = 3x1 - 2x2, x2' = 2x1 - 2x2,
com condições iniciais x1(0)=0, x2(0)=-1.
O conteúdo envolvido é solução de sistemas lineares por decomposição em autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & -2[6pt]2 & -2 ]

Passo 2

Para achar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!3-lambda & -2[4pt]2 & -2-lambda = (3-lambda)(-2-lambda) - (-2)cdot2 = lambda^2 - lambda - 2
Resolvendo lambda^2 - lambda - 2 = 0 temos
lambda = 1 pm raiz1 + 82 ;Longrightarrow; lambda1 = 2, lambda2 = -1 ]

Passo 3

Para cada autovalor lambda encontramos o autovetor não nulo em (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1=2:
(A - 2I)v = 1 & -2[4pt]2 & -4v = 0 ;Longrightarrow; v^(1) = 21
Para lambda2=-1:
(A + I)v = 4 & -2[4pt]2 & -1v = 0 ;Longrightarrow; v^(2) = 12 ]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
x1(t)[4pt]x2(t) = C1e^2t 2[4pt]1 + C2e^-t 1[4pt]2 ]

Passo 5

Impondo
Dessa forma .]

Resposta

x1(t) = 23,e^2t - 23,e^-t, x2(t) = 13,e^2t - 43,e^-t

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