Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ ly^prime=2 x1+2 y y(2)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem
y' = 2x1+2y, y(2)=0
O conteúdo é separação de variáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo y' = dydx e obtemos
dydx = 2x1+2y Longrightarrow (1+2y),dy = 2x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (1+2y),dy = integral 2x,dx Longrightarrow integral 1,dy + integral 2y,dy = integral 2x,dx,
y + y^2 = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(2)=0 para determinar C:
0 + 0^2 = 2^2 + C Longrightarrow 0 = 4 + C Longrightarrow C = -4
Logo a solução implícita é
y + y^2 = x^2 - 4

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 + y - (x^2-4) = 0 Longrightarrow y = -1 pm raiz1 + 4(x^2-4)2 = -1 pm raiz4x^2 - 152
Para satisfazer y(2)=0 usamos o sinal “ +”, pois
raiz4cdot2^2-15=1 tfrac-1+12=0.

Resposta

y(x) = -1 + raiz4x^2 - 152

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