Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ ly^prime=x(x^2+1)4 y^3 y(0)=-1raiz2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
y' = x(x^2+1)4y^3
com a condição inicial
y(0) = -1raiz2.
O conteúdo aqui é equações de variáveis separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
4y^3 dydx = x(x^2+1)
Então
4y^3,dy = x(x^2+1),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 4y^3,dy = integral x(x^2+1),dx
No lado esquerdo,
integral 4y^3,dy = y^4 + C1,
e no direito,
integral (x^3 + x),dx = x^44 + x^22 + C2
Juntando as constantes em C = C2 - C1, obtemos
y^4 = x^44 + x^22 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0) = -1raiz2. Substituindo x=0 e y(0) na expressão de y^4,
(-1raiz2)^4 = 14 = C
Logo,
y^4 = x^44 + x^22 + 14 = x^4 + 2x^2 +14 = (x^2+1)^24

Passo 5

Para achar y, tiramos quarta raiz:
y^2 = x^2+12,
então
y = pm raizx^2+12
Como a condição inicial exige y(0)<0, escolhemos o sinal negativo. Assim,
y(x) = -raizx^2+12

Resposta

y(x) = -raizx^2+12

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