Resolva os problemas de valor inicial:
(-sen(x y))(y d x+x d y)=0, y(1)=pi

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
-sen(x y),(y,dx + x,dy)=0
com condição inicial y(1)=pi.
O conteúdo aqui é reconhecer que y,dx + x,dy é a diferencial de u=x y e usar integração direta.

Passo 2

Defina
u = x y
Então
d u = y,dx + x,dy
e a equação passa a ser
-sin(u),d u = 0

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação às variáveis correspondentes. Primeiro escrevemos
-integral sin(u),du = integral 0,dx
A integral de -sin(u) em u é cos(u) e a de 0 em x é constante. Logo
cos(u)=C

Passo 4

Voltando à variável original, temos
cos(xy)=C
Usando a condição inicial x=1, y=pi, obtemos
cos(1cdotpi)=cos(pi)=-1,
portanto C=-1.

Passo 5

A relação geral fica
cos(xy)=-1,
o que implica
x y = (2k+1)pi, kinZ
Para obter a solução contínua que passa por (1,pi), escolhemos k=0, daí
x y = pi Longrightarrow y=pix

Resposta

y(x)=dfracpix

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