Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
(1-cos (x)) d y+(1+y sen(x)) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
(1-cos(x)),dy + l(1 + ysin(x)r),dx = 0
é exata e depois resolvê-la. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y), checar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e, em seguida, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M e partial phipartial y = N

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 1 + ysin(x), N(x,y) = 1 - cos(x),
de modo que a equação se escreve como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = sin(x), partial Npartial x = sin(x)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral l(1 + ysin(x)r),dx = integral 1,dx + yintegral sin(x),dx = x - ycos(x) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos que
partial phipartial y = -cos(x) + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=1-cos(x). Logo
-cos(x) + h'(y) = 1 - cos(x) Longrightarrow h'(y) = 1 Longrightarrow h(y) = y + C1

Passo 5

Substituindo h(y)=y (absorvendo C1 na constante final), obtemos a função potencial
phi(x,y) = x - ycos(x) + y
A solução geral implícita da equação exata é
phi(x,y) = C,
isto é,
x + y - ycos(x) = C

Resposta

x + y - ycos(x) = C,
com C constante de integração.

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