Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
é exata e depois resolvê-la. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos identificar as funções
e
, checar a condição de exatidão
e, em seguida, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Identificamos
de modo que a equação se escreve como
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Agora impomos que
deve ser igual a
. Logo
Passo 5
Substituindo
(absorvendo
na constante final), obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação exata é
isto é,
Resposta
com
constante de integração.