Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
(2 x-5 y) d x+(3 y^2-5 x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação
(2x - 5y),dx + (3y^2 - 5x),dy = 0
é exata e em seguida resolvê-la. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas: precisamos checar se existem uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = 2x - 5y e partial Psipartial y = 3y^2 - 5x,
e então escrever Psi(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
partialpartial y(2x - 5y) = -5, partialpartial x(3y^2 - 5x) = -5
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que Psix = 2x - 5y. Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2x - 5y),dx = x^2 - 5x y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos Psi(x,y) em relação a y e igualamos a 3y^2 - 5x:
Psiy = -5x + h'(y) overset!= 3y^2 - 5x ;Longrightarrow; h'(y) = 3y^2 ;Longrightarrow; h(y) = y^3

Passo 5

Substituindo h(y)=y^3 em Psi, obtém-se
Psi(x,y) = x^2 - 5x y + y^3
A solução geral da equação diferencial é dada por
Psi(x,y) = C,
isto é,
x^2 - 5x y + y^3 = C

Resposta

x^2 - 5x y + y^3 = C

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