Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais:
Informações relevantes:
- A função força do lado direito é a constante
(número complexo). - Queremos encontrar
para que satisfaça a equação e as condições iniciais.
A partir daqui aplicaremos a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica e depois inverteremos a transformada.
Passo 2
Rápida revisão (didática) da transformada de Laplace e propriedades que usaremos:
- Definição: para uma função
definida para ,
Aqui
é a variável complexa da transformada; é diferente da variável temporal
.
- Propriedade para derivadas: se
, então
Essas fórmulas são fundamentais porque transformam derivadas em polinômios multiplicando
.
- Transformadas padrão que usaremos:
Também é permitido aplicar a transformada a constantes complexas:
, pois
é apenas um número (não depende de
).
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denote
. Usando as propriedades de derivada e as condições iniciais
,
, obtemos:
Substituindo as fórmulas:
Como
e
, isto simplifica para
Passo 4
Isolamos
:
Agora precisamos encontrar a transformada inversa
. Para isso vamos decompor
em frações parciais que correspondem a transformadas conhecidas.
Passo 5
Decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (em
):
Desenvolvendo o lado direito:
Agrupando termos por potência de
:
Comparando coeficientes (lado esquerdo é constante, sem termos em
ou
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Da última equação:
Então
e
.
Passo 6
Substituindo os coeficientes na decomposição, temos
Escrevendo de forma clara:
Passo 7
Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando as transformadas conhecidas:
-
. -
.
Portanto
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica
, obtendo a forma alternativa
Verificações rápidas (para dar confiança): em
temos
. Derivando e avaliando em
dá
. Substituindo
na EDO também retorna
. Tudo consistente.