Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y=e^{i}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais:
y'' + 4y = e^{i}, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=0.
Informações relevantes:
  • A função força do lado direito é a constante \,e^{i}\, (número complexo).
  • Queremos encontrar y(t) para t\ge 0 que satisfaça a equação e as condições iniciais.
    A partir daqui aplicaremos a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica e depois inverteremos a transformada.

Passo 2

Rápida revisão (didática) da transformada de Laplace e propriedades que usaremos:
  • Definição: para uma função f(t) definida para t\ge0,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; é diferente da variável temporal t.
  • Propriedade para derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas são fundamentais porque transformam derivadas em polinômios multiplicando Y(s).
  • Transformadas padrão que usaremos:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Também é permitido aplicar a transformada a constantes complexas: \mathcal{L}\{e^{i}\}=\dfrac{e^{i}}{s}, pois e^{i} é apenas um número (não depende de t).

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando as propriedades de derivada e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{e^{i}\}.
Substituindo as fórmulas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)\bigr)+4Y(s)=\frac{e^{i}}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isto simplifica para
(s^{2}+4)Y(s)=\frac{e^{i}}{s}.

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{e^{i}}{s(s^{2}+4)}.
Agora precisamos encontrar a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. Para isso vamos decompor Y(s) em frações parciais que correspondem a transformadas conhecidas.

Passo 5

Decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{e^{i}}{s(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+4) obtemos a identidade (em s):
e^{i}=A(s^{2}+4)+(Bs+C)s.
Desenvolvendo o lado direito:
e^{i}=A s^{2}+4A + B s^{2}+C s.
Agrupando termos por potência de s:
e^{i}=(A+B)s^{2} + C s + 4A.
Comparando coeficientes (lado esquerdo é constante, sem termos em s ou s^{2}):
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s: C=0.
  • Termo constante: 4A=e^{i}.
Da última equação:
A=\frac{e^{i}}{4}.
Então B=-A=-\frac{e^{i}}{4} e C=0.

Passo 6

Substituindo os coeficientes na decomposição, temos
Y(s)=\frac{e^{i}}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{e^{i}}{4}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.
Escrevendo de forma clara:
Y(s)=\frac{e^{i}}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{e^{i}}{4}\cdot\frac{s}{s^{2}+2^{2}}.

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando as transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+2^{2}}\}=\cos(2t).
    Portanto
y(t)=\frac{e^{i}}{4}\cdot 1 - \frac{e^{i}}{4}\cdot \cos(2t) =\frac{e^{i}}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica 1-\cos(2t)=2\sin^{2}t, obtendo a forma alternativa
y(t)=\frac{e^{i}}{2}\sin^{2}t.
Verificações rápidas (para dar confiança): em t=0 temos y(0)=\frac{e^{i}}{4}(1-1)=0. Derivando e avaliando em 0 y'(0)=0. Substituindo y na EDO também retorna e^{i}. Tudo consistente.

Resposta

y(t)=\dfrac{e^{i}}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)
y(t)=\dfrac{e^{i}}{2}\sin^{2}t

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