Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função está explícita em termos de
(assumo que a expressão significa multiplicação:
). A tarefa é aplicar propriedades da transformada de Laplace para encontrar
.
Informações dadas: a função
Passo 2
Relembre duas propriedades/fórmulas fundamentais que vamos usar (vou explicar como e por que):
- Linearidade: a transformada é linear, ou seja, para constantes
e funções ,
Isto nos permite transformar termo a termo depois de expandir o produto.
- Transformada de potências de
: para inteiro ,
Aqui
é o fatorial de
e
é a variável complexa da transformada; essa fórmula vale para
quando
é inteiro não negativo. Em particular,
Passo 3
Vamos primeiro expandir a expressão em potências de
para aplicar linearidade facilmente. Calcule:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 4
Agora aplicamos a transformada termo a termo usando linearidade e as fórmulas das potências:
- Para
:
- Para
:
- Para
(constante):
Passo 5
Somando os três resultados pela linearidade, obtemos a transformada de
:
Se preferir, podemos fatorar um
para ver uma forma alternativa: