Seja mathcal{L}{f(t)}=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
p(t)=(t-1) 24(t-2);

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função p(t) = 24(t-1) (t-2).
Informações dadas: a função p(t) está explícita em termos de t (assumo que a expressão significa multiplicação: 24\cdot(t-1)\cdot(t-2)). A tarefa é aplicar propriedades da transformada de Laplace para encontrar \mathcal{L}\{p(t)\}(s).

Passo 2

Relembre duas propriedades/fórmulas fundamentais que vamos usar (vou explicar como e por que):
  • Linearidade: a transformada é linear, ou seja, para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a\,\mathcal{L}\{f(t)\} + b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
Isto nos permite transformar termo a termo depois de expandir o produto.
  • Transformada de potências de t: para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^n\}(s) = \frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Aqui n! é o fatorial de n e s é a variável complexa da transformada; essa fórmula vale para \Re(s)>0 quando n é inteiro não negativo. Em particular,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Vamos primeiro expandir a expressão em potências de t para aplicar linearidade facilmente. Calcule:
(t-1)(t-2)=t^{2}-3t+2.
Multiplicando pelo fator 24:
p(t)=24(t-1)(t-2)=24t^{2}-72t+48.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada termo a termo usando linearidade e as fórmulas das potências:
  • Para 24t^{2}:
\mathcal{L}\{24t^{2}\}(s)=24\cdot\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=24\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{48}{s^{3}}.
  • Para -72t:
\mathcal{L}\{-72t\}(s)=-72\cdot\mathcal{L}\{t\}(s)=-72\cdot\frac{1}{s^{2}}=-\frac{72}{s^{2}}.
  • Para 48 (constante):
\mathcal{L}\{48\}(s)=48\cdot\mathcal{L}\{1\}(s)=48\cdot\frac{1}{s}=\frac{48}{s}.

Passo 5

Somando os três resultados pela linearidade, obtemos a transformada de p(t):
\mathcal{L}\{p(t)\}(s)=\frac{48}{s^{3}}-\frac{72}{s^{2}}+\frac{48}{s}.
Se preferir, podemos fatorar um 24 para ver uma forma alternativa:
\mathcal{L}\{p(t)\}(s)=24\!\left(\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}+\frac{2}{s}\right).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{p(t)\}(s)=\frac{48}{s^{3}}-\frac{72}{s^{2}}+\frac{48}{s}

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