Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função de
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar
tal que
Informações relevantes dadas:
está escrita como um logaritmo de razão de duas expressões lineares em
.
Não foi informada explicitamente a região de convergência; ao longo da resolução veremos a condição necessária em para que as manipulações sejam válidas.
Não foi informada explicitamente a região de convergência; ao longo da resolução veremos a condição necessária em
Passo 2
Vamos usar uma identidade integral útil que liga integrais exponenciais ao logaritmo. Seja
e
com
e
. Definimos a função
Mostramos que
. Para isso, derivamos em relação a
:
onde usamos
válida para
. Integrando essa equação em
de
(onde
) até
obtemos
Portanto, sob as hipóteses
e
,
Passo 3
Agora relacionamos essa identidade à transformada de Laplace. Se tomarmos uma função do tipo
então a sua transformada de Laplace é
Aplicando a identidade do passo anterior com
e
(exigindo
e
), obtemos
Logo, em geral,
com as condições de convergência indicadas.
Passo 4
Comparando a fórmula geral com a nossa
, vemos que podemos identificar
e
Substituindo
e
na expressão de
do passo anterior obtemos
Passo 5
Verificamos as condições de validade: na identidade usamos
e
. Aqui
Para que
e
precisamos de
e
; a condição mais restritiva é
. Isso corresponde ao domínio de
onde a expressão de
pode ser obtida como a transformada de Laplace da função
encontrada. Assim a inversa está correta no sentido usual da transformada de Laplace para
.
Passo 6
Como reforço rápido: um exemplo análogo é
. A relação segue do mesmo raciocínio com
e
.