Seja F(s)=\mathcal{L}{f(t)}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\ln \left(\frac{s-3}{s+1}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F(s)=\ln\!\left(\frac{s-3}{s+1}\right)
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações relevantes dadas:
\,F(s) está escrita como um logaritmo de razão de duas expressões lineares em s.
Não foi informada explicitamente a região de convergência; ao longo da resolução veremos a condição necessária em s para que as manipulações sejam válidas.

Passo 2

Vamos usar uma identidade integral útil que liga integrais exponenciais ao logaritmo. Seja p e q com \Re(p)>0 e \Re(q)>0. Definimos a função
H(p,q)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-p t}-e^{-q t}}{t}\,dt.
Mostramos que H(p,q)=\ln\!\left(\dfrac{q}{p}\right). Para isso, derivamos em relação a p:
\frac{\partial}{\partial p}H(p,q)=-\int_{0}^{\infty}e^{-p t}\,dt=-\frac{1}{p},
onde usamos \int_{0}^{\infty}e^{-p t}\,dt=\dfrac{1}{p} válida para \Re(p)>0. Integrando essa equação em p de p=q (onde H(q,q)=0) até p obtemos
H(p,q)=-\ln\!\left(\frac{p}{q}\right)=\ln\!\left(\frac{q}{p}\right).
Portanto, sob as hipóteses \Re(p)>0 e \Re(q)>0,
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-p t}-e^{-q t}}{t}\,dt=\ln\!\left(\frac{q}{p}\right).

Passo 3

Agora relacionamos essa identidade à transformada de Laplace. Se tomarmos uma função do tipo
f(t)=\frac{e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{t}\quad (t>0),
então a sua transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-(s-\alpha)t}-e^{-(s-\beta)t}}{t}\,dt.
Aplicando a identidade do passo anterior com p=s-\alpha e q=s-\beta (exigindo \Re(s-\alpha)>0 e \Re(s-\beta)>0), obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\ln\!\left(\frac{s-\beta}{s-\alpha}\right).
Logo, em geral,
\mathcal{L}\left\{\frac{e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{t}\right\}(s)=\ln\!\left(\frac{s-\beta}{s-\alpha}\right),
com as condições de convergência indicadas.

Passo 4

Comparando a fórmula geral com a nossa F(s)=\ln\!\left(\dfrac{s-3}{s+1}\right), vemos que podemos identificar
s-\beta = s-3\quad\Rightarrow\quad \beta=3,
e
s-\alpha = s+1\quad\Rightarrow\quad \alpha=-1.
Substituindo \alpha=-1 e \beta=3 na expressão de f(t) do passo anterior obtemos
f(t)=\frac{e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{t}=\frac{e^{-t}-e^{3t}}{t},\qquad t>0.

Passo 5

Verificamos as condições de validade: na identidade usamos p=s-\alpha e q=s-\beta. Aqui
p=s-\alpha=s-(-1)=s+1,\qquad q=s-\beta=s-3.
Para que \Re(p)>0 e \Re(q)>0 precisamos de \Re(s+1)>0 e \Re(s-3)>0; a condição mais restritiva é \Re(s)>3. Isso corresponde ao domínio de s onde a expressão de F(s) pode ser obtida como a transformada de Laplace da função f(t) encontrada. Assim a inversa está correta no sentido usual da transformada de Laplace para \Re(s)>3.

Passo 6

Como reforço rápido: um exemplo análogo é \mathcal{L}^{-1}\{\ln(\tfrac{s}{s+1})\}=\dfrac{1-e^{-t}}{t}. A relação segue do mesmo raciocínio com \alpha=0 e \beta=-1.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{e^{-t}-e^{3t}}{t},\quad t>0

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