Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução y(t):
y''-2y'+y = e^{2t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes:
  1. Temos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{2t}.
  2. As duas condições iniciais são ambas zero.
  3. O que se pede é a função y(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais.

Passo 2

Mini-aula rápida sobre a transformada de Laplace (só o essencial que vamos usar).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função y(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt. Aqui s é a variável complexa da transformada e t é a variável do tempo.
  • Propriedades que usaremos (para y suficientemente bem comportada): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas significam: a transformada de derivadas transforma a EDO em uma equação algébrica em s, envolvendo Y(s) e as condições iniciais.
  • Transformadas padrão que usaremos: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>a),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{at}.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, e usando as propriedades das derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{e^{2t}\}.
Substituindo as fórmulas:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-2\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica bastante.

Passo 4

Simplifico a expressão usando y(0)=y'(0)=0:
s^{2}Y(s)-2sY(s)+Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Coloco Y(s) em evidência:
\big(s^{2}-2s+1\big)Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Observação: s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}. Logo
Y(s)=\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}.
Agora precisamos encontrar a transformada inversa de Y(s). Para isso, fazemos decomposição em frações parciais.

Passo 5

Decomponho em frações parciais. Procuro constantes A,B,C tais que
\frac{1}{(s-2)(s-1)^{2}}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por (s-2)(s-1)^{2} para obter a equação polinomial:
1 = A(s-1)^{2}+B(s-2)(s-1)+C(s-2).
Vou expandir e agrupar termos. Primeiro expando cada parcela:
A(s-1)^{2}=A(s^{2}-2s+1)=A s^{2}-2A s + A,
B(s-2)(s-1)=B(s^{2}-3s+2)=B s^{2}-3B s +2B,
C(s-2)=C s -2C.
Somando tudo:
1 = (A+B)s^{2}+(-2A-3B+C)s + (A+2B-2C).
Comparo coeficientes com o polinômio constante 1 (equivalente a 0\cdot s^{2}+0\cdot s +1):
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s: -2A-3B+C=0.
  • Termo constante: A+2B-2C=1.
Resolvo esse sistema:
  1. B=-A.
  2. Substituindo em 2): -2A-3(-A)+C = -2A+3A+C = A + C =0 C=-A.
  3. Substituindo B=-A e C=-A em 3): A + 2(-A) -2(-A) = A -2A +2A = A = 1.
    Logo A=1. Então B=-1 e C=-1.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s-2} - \frac{1}{s-1} - \frac{1}{(s-1)^{2}}.

Passo 6

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando a tabela básica:
  • \mathcal{L}^{-1}\big\{\dfrac{1}{s-2}\big\}=e^{2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\big\{\dfrac{1}{s-1}\big\}=e^{t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\big\{\dfrac{1}{(s-1)^{2}}\big\}=t e^{t}.
Como Y(s)=\dfrac{1}{s-2} - \dfrac{1}{s-1} - \dfrac{1}{(s-1)^{2}}, a transformada inversa é
y(t)=e^{2t}-e^{t}-t e^{t}.
Eu sugiro sempre verificar rapidamente as condições iniciais: y(0)=1-1-0=0 e y'(0)=0, ambas satisfeitas — bom sinal.

Resposta

y(t)=e^{2t}-e^{t}-t e^{t}

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