Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução
:
Informações relevantes:
- Temos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - As duas condições iniciais são ambas zero.
- O que se pede é a função
que satisfaz a EDO e as condições iniciais.
Passo 2
Mini-aula rápida sobre a transformada de Laplace (só o essencial que vamos usar).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é . Aqui é a variável complexa da transformada e é a variável do tempo. - Propriedades que usaremos (para
suficientemente bem comportada):
Essas fórmulas significam: a transformada de derivadas transforma a EDO em uma equação algébrica em
, envolvendo
e as condições iniciais.
- Transformadas padrão que usaremos:
Vou aplicar essas propriedades passo a passo.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando
, e usando as propriedades das derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Substituindo as fórmulas:
Como
e
, isso simplifica bastante.
Passo 4
Simplifico a expressão usando
:
Coloco
em evidência:
Observação:
. Logo
Agora precisamos encontrar a transformada inversa de
. Para isso, fazemos decomposição em frações parciais.
Passo 5
Decomponho em frações parciais. Procuro constantes
tais que
Multiplico ambos os lados por
para obter a equação polinomial:
Vou expandir e agrupar termos. Primeiro expando cada parcela:
Somando tudo:
Comparo coeficientes com o polinômio constante
(equivalente a
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvo esse sistema:
-
. - Substituindo em 2):
→ . - Substituindo
e em 3): .
Logo. Então e .
Portanto
Passo 6
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando a tabela básica:
-
. -
. -
.
Como
, a transformada inversa é
Eu sugiro sempre verificar rapidamente as condições iniciais:
e
, ambas satisfeitas — bom sinal.