Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de
e pede a transformada inversa de Laplace
. Informações relevantes dadas:
Não há outras condições iniciais ou parâmetros além do deslocamento exponencial
. A pergunta é: qual é a função
no tempo que corresponde a esse
?
Passo 2
Primeiro identificamos a parte sem o fator exponencial:
. Vamos achar a inversa de Laplace de
. Uma fórmula útil (vamos demonstrar no próximo passo para o caso necessário) é que, para
inteiro não negativo,
Aplicando isso para
obtemos
Portanto a transformada inversa de
é uma constante multiplicativa:
Passo 3
Para ser bem didático, mostro rapidamente como calcular
por integração, confirmando o resultado anterior. Pela definição
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale zero para
. Para a integral restante aplicamos integração por partes de novo: tome
,
, então
,
. Assim
Novamente o termo de fronteira é zero e
. Logo
Substituindo na expressão anterior:
Isso confirma
e, portanto,
.
Passo 4
Agora tratamos o fator
. Existe um teorema de deslocamento no tempo (teorema do degrau deslocado) que diz: se
então, para
,
onde
é a função degrau de Heaviside (igual a
para
e
para
). Vou mostrar uma prova curta e direta: calcule
Fazendo a mudança de variável
obtemos
que é exatamente o enunciado do teorema.
Passo 5
Aplicamos o teorema com
e com a função que encontramos no Passo 2:
. Assim
com
e
. Pelo teorema,
É útil também escrever explicitamente em forma por partes:
Resposta
]