Determine o (maior) domínio das funções f e g a seguir.
f(x)=raiz2 x-33 x-2 e g(x)=raiz2 x-3raiz3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para achar os maiores domínios das funções reais f e g. Isso envolve garantir que todo radicando esteja ≥0 e que nenhum denominador seja zero. Vamos usar análise de sinal e condições de existência de raiz.

Passo 2

Para f(x)=\sqrt{(2x-3)/(3x-2)} precisamos ter $ (2x-3)/(3x-2) \ge 0 $ e (2x-3)/(3x-2) >= 0 . Os pontos críticos são x=3/2 (numerador zero) e x=2/3 (denominador zero). Analisando o sinal em cada intervalo: em (-∞,2/3) o quociente é positivo; em (2/3,3/2) é negativo; em (3/2,∞) é positivo. Em x=3/2 o radicando fica zero (aceito) e em x=2/3 o denominador zera (proibido).
Concluímos que o domínio de f é 3x-2neq0.

Passo 3

Para g(x)=\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{3x-2}} precisamos de 2x-3\ge0, 3x-2\ge0 e \sqrt{3x-2}\neq0. Das duas primeiras vem x\ge3/2 e x\ge2/3, portanto x\ge3/2. Como em x=3/2 o denominador é \sqrt{3(3/2)-2}=\sqrt{9/2-2}=\sqrt{5/2}>0, está tudo ok.
Logo o domínio de g é [3/2,,infty).

Resposta

D_f=(-∞,2/3)∪[3/2,∞), D_g=[3/2,∞)

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