Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+9 y=sen 2 x ; y(0)=1 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 9y = sin 2x, y(0)=1, y'(0)=0
O método envolve achar a solução geral da equação homogênea e em seguida uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = pm 3i. Logo a solução homogênea é
yh = C1 cos 3x + C2 sin 3x

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
yp = A sin 2x + B cos 2x
Calculamos
yp' = 2Acos 2x - 2Bsin 2x, yp'' = -4Asin 2x - 4Bcos 2x
Substituindo em y''+9y=sin2x obtemos
(-4A + 9A)sin2x +(-4B + 9B)cos2x = 5Asin2x + 5Bcos2x = sin2x
Igualando coeficientes dá
5A = 1, 5B = 0 Longrightarrow A = tfrac15,;B = 0
Portanto
yp = 15sin2x

Passo 4

A solução geral do problema é
y(x) = yh + yp = C1 cos3x + C2 sin3x + 15sin2x

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
y(0)=1
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 + 0 = 1 Longrightarrow C1 = 1
Para y'(x) temos
y'(x) = -3C1sin3x + 3C2cos3x + 25cos2x
Então y'(0)=0 leva a
y'(0) = -3cdot1cdot0 + 3C2cdot1 + 25cdot1 = 3C2 + 25 = 0 Longrightarrow C2 = -215

Resposta

boxedy(x) = cos3x ;-;215,sin3x ;+;15,sin2x

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