Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=\pi \\\ y^{\prime}(0)=7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 5y = 0,
com as condições y(0)=\pi e y'(0)=7.
Conteúdo: equações diferenciais de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 5 = 0.
Calculando as raízes,
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i.
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas -2 \pm i, a solução geral é
y(t) = e^{-2t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Para aplicar y(0)=\pi e y'(0)=7, primeiro obtemos y'(t). Derivando,
y'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl[e^{-2t}(A\cos t + B\sin t)\Bigr] = e^{-2t}\Bigl[(-2A + B)\cos t + (-2B - A)\sin t\Bigr].
Em t=0:
y(0) = A = \pi,
y'(0) = -2A + B = 7 \;\Longrightarrow\; -2\pi + B = 7 \;\Longrightarrow\; B = 7 + 2\pi.
Passo 5
Substituindo A=\pi e B=7+2\pi na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t) = e^{-2t}\bigl(\pi\cos t + (7 + 2\pi)\sin t\bigr).
Resposta
y(t) = e^{-2t}\bigl(\pi\cos t + (7 + 2\pi)\sin t\bigr).