Informações dadas: \;y''+4y'+5y=0 é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
As condições iniciais são \;y(0)=\pi e \;y'(0)=7.
O que se pede: encontrar y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Método escolhido: buscar soluções da forma exponencial \;y=e^{rt}. Explico por quê: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, testar y=e^{rt} transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica), que é muito mais fácil de resolver. Vamos aplicar isso.
Substituindo y=e^{rt} em \;y''+4y'+5y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+4r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i.
Portanto as raízes são complexas conjugadas \;r=-2\pm i.
Passo 3
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \;\alpha\pm i\beta, a solução geral real da equação diferencial é
Breve justificativa didática: as soluções complexas e^{(\alpha+i\beta)t} e e^{(\alpha-i\beta)t} geram, pelas partes real e imaginária, as duas soluções reais independentes e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Assim a combinação linear destas duas cobre todas as soluções reais.
No nosso caso temos \;\alpha=-2 e \;\beta=1. Logo a solução geral é
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição inicial \;y(0)=\pi. Calculando y(0):