Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=\pi \\\ y^{\prime}(0)=7\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede encontrar a solução da seguinte condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} y''+4y'+5y=0,\\[4pt] y(0)=\pi,\\[4pt] y'(0)=7. \end{array}\right.
Informações dadas:
\;y''+4y'+5y=0 é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
As condições iniciais são \;y(0)=\pi e \;y'(0)=7.
O que se pede: encontrar y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Método escolhido: buscar soluções da forma exponencial \;y=e^{rt}. Explico por quê: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, testar y=e^{rt} transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica), que é muito mais fácil de resolver. Vamos aplicar isso.
Substituindo y=e^{rt} em \;y''+4y'+5y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+4r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i.
Portanto as raízes são complexas conjugadas \;r=-2\pm i.

Passo 3

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \;\alpha\pm i\beta, a solução geral real da equação diferencial é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Breve justificativa didática: as soluções complexas e^{(\alpha+i\beta)t} e e^{(\alpha-i\beta)t} geram, pelas partes real e imaginária, as duas soluções reais independentes e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Assim a combinação linear destas duas cobre todas as soluções reais.
No nosso caso temos \;\alpha=-2 e \;\beta=1. Logo a solução geral é
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição inicial \;y(0)=\pi. Calculando y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=\pi.

Passo 5

Agora usamos a segunda condição inicial \;y'(0)=7. Primeiro precisamos calcular y'(t). Diferenciando
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
usamos a regra do produto. Seja u(t)=e^{-2t} e v(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t. Então u'(t)=-2e^{-2t} e v'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t. Assim
y'(t)=u'v+uv'=e^{-2t}\Big[(-2C_{1}+C_{2})\cos t +(-2C_{2}-C_{1})\sin t\Big].
Agora avaliamos em t=0:
y'(0)=e^{0}\Big[(-2C_{1}+C_{2})\cos 0 +(-2C_{2}-C_{1})\sin 0\Big]=-2C_{1}+C_{2}.
Igualando à condição y'(0)=7 obtemos
-2C_{1}+C_{2}=7.
Substituindo C_{1}=\pi,
C_{2}=7+2\pi.

Passo 6

Com C_{1}=\pi e C_{2}=7+2\pi escrevemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=e^{-2t}\Big(\pi\cos t + (7+2\pi)\sin t\Big).
Vamos checar rapidamente as condições iniciais (verificação rápida): em t=0, y(0)=\pi (ok); e y'(0)=-2\pi + (7+2\pi)=7 (ok). Tudo consistente.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\Big(\pi\cos t + (7+2\pi)\sin t\Big)

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