Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial $\vec{F}$ através da superfície S . Sendo $\vec{F}(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x y^{2} \vec{j}+(5-4 x y z) \vec{k}$ e S , a superfície representada pelo hemisfério $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geqslant 0$ . Considere S com orientação para cima (isto é, a normal à superfície, $\vec{n}$ , possui componente z positiva).

O enunciado pede o fluxo de

\vec F(x,y,z)=x^{2}y\,\vec i + xy^{2}\,\vec j + (5-4xyz)\,\vec k

pela superfície

S

, que é o hemisfério

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4

z\ge0

, orientado para cima. Vamos usar o Teorema da Divergência, fechando a região com o disco

D\colon x^{2}+y^{2}\le4

z=0

Calculemos primeiro a divergência de

\vec F

\div \vec F \;=\;\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)\;+\;\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2})\;+\;\frac{\partial}{\partial z}(5-4xyz) \;=\;2xy \;+\;2xy \;+\;(-4xy) \;=\;0.

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pelo casco fechado

S\cup D

\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{V}\div\vec F\,dV \;=\;0.

Como no disco

D

a normal exterior ao volume aponta para baixo

\vec n_D=-\vec k

, temos

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS \;+\;\iint_{D}\vec F\cdot\vec n_D\,dS \;=\;0.

No disco

D

(onde

z=0

) vale

\vec n_D=-\vec k

\vec F\bigl|_{z=0} = x^{2}y\,\vec i + xy^{2}\,\vec j + 5\,\vec k,

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\vec F\cdot\vec n_D = -\,5.

Assim

\iint_{D}\vec F\cdot\vec n_D\,dS =\int_{D}(-5)\,dS =-5\cdot\bigl(\text{área do disco de raio }2\bigr) =-5\cdot4\pi =-20\pi.á

Da relação do Teorema da Divergência,

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = -\iint_{D}\vec F\cdot\vec n_D\,dS = -(-20\pi) = 20\pi.

20\pi

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