Verificação:
$\int x\left(x^{2}+2\right)^{2} d x$

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral indefinida

\int x\,(x^{2}+2)^{2}\,dx.

O conteúdo aqui é substituição de variável (u-substitution), pois reconhecemos uma função externa

(x^{2}+2)^{2}

e sua derivada interna

x

Fazemos a troca de variável

u = x^{2} + 2.

Derivando ambos os lados,

du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Reescrevendo a integral em

u

\int x\,(x^{2}+2)^{2}\,dx = \int u^{2}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = \tfrac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Agora basta integrar em

u

\tfrac{1}{2}\int u^{2}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{u^{3}}{3} + C = \tfrac{u^{3}}{6} + C,

onde

C

é a constante de integração.

Voltando para a variável original

x

, substituímos

u = x^{2}+2

\tfrac{u^{3}}{6} + C = \frac{(x^{2}+2)^{3}}{6} + C.

\frac{(x^{2}+2)^{3}}{6} + C.

Verificação: \int x\left(x^{2}+2\right)^{2} d x