Verifique se os vetores são LI ou LD.
v1=(1,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(5,2,3)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1), v3 = (5,2,3)
e pede para determinar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conteúdo usado aqui é teste de independência via determinante de uma matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 5 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3
Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdot(0cdot3 - 2cdot1) -1cdot(1cdot3 - 2cdot0) +5cdot(1cdot1 - 0cdot0) =-2 -3 +5 = 0

Passo 3

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Logo existe combinação não-trivial
c1v1 + c2v2 + c3v3 = (0,0,0)

Passo 4

Essa igualdade gera o sistema
c1 + c2 + 5c3 = 0, c1 ;+; 2c3 = 0, c2 ;+; 3c3 = 0
Da segunda equação vem c1 = -2c3 e da terceira vem c2 = -3c3. Substituindo na primeira confirma-se que qualquer c3 satisfaz. Tomando c3 = 1, obtemos
c1 = -2, c2 = -3, c3 = 1,
isto é,
-2,v1 ;-;3,v2 ;+;1,v3 = (0,0,0) Longrightarrow v3 = 2,v1 + 3,v2

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, com a relação
v3 = 2,v1 + 3,v2

Exercícios relacionados