Resolva os problemas
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
com condições iniciais
,
, onde
O método mais direto aqui é usar a fórmula de Duhamel (ou convolução) para
Passo 2
Substituindo
e
, a parte homogênea vira simplesmente
. Logo
Agora separamos os dois casos de
.
Passo 3
Caso
: aqui
para todo
.
Fazendo a mudança
(então
) obtém-se
Sabemos
Logo o integral vale
Logo para
Passo 4
Caso
: dividimos
- Para
, aplica-se de novo e integra-se entre e . O resultado é
- Para
, muda-se e obtém-se
Somando tudo e incluindo o
da parte homogênea, simplifica-se e encontra-se