Resolva os problemas
y^{\prime \prime}+y=g(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}t / 2, & 0 \leq t<6, \\\\ 3, & t \geq 6 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' + y = g(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, onde
g(t) = \begin{cases} \dfrac t2, & 0 \le t < 6,\\[6pt] 3, & t \ge 6. \end{cases}
O método mais direto aqui é usar a fórmula de Duhamel (ou convolução) para
y(t) = \underbrace{\cos t\;y(0) + \sin t\;y'(0)}_{\text{solução homogênea com CI}} + \int_{0}^{t} \sin\bigl(t-s\bigr)\,g(s)\,ds.çãê]

Passo 2

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1, a parte homogênea vira simplesmente \sin t. Logo
y(t) = \sin t \;+\;\int_{0}^{t} \sin\bigl(t-s\bigr)\,g(s)\,ds.
Agora separamos os dois casos de g(s).

Passo 3

Caso 0\le t<6: aqui g(s)=s/2 para todo 0\le s\le t.
\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,\frac{s}{2}\,ds = \frac12\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,s\,ds.
Fazendo a mudança u = t-s (então s = t-u) obtém-se
\frac12\int_{0}^{t}\sin u\,(t-u)\,du = \frac12\Bigl[t\!\!\int_{0}^{t}\sin u\,du \;-\!\!\int_{0}^{t}u\,\sin u\,du\Bigr].
Sabemos
\int_{0}^{t}\sin u\,du = 1-\cos t, \quad \int_{0}^{t}u\sin u\,du = -t\cos t + \sin t.
Logo o integral vale
\frac12\bigl[t(1-\cos t) - (-t\cos t + \sin t)\bigr] = \frac12\,(t - \sin t).
Logo para t<6
y(t) = \sin t + \frac{t - \sin t}{2} = \frac{t}{2} + \frac12\,\sin t.

Passo 4

Caso t\ge6: dividimos
\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,g(s)\,ds = \int_{0}^{6}\sin(t-s)\,\frac{s}{2}\,ds + \int_{6}^{t}\sin(t-s)\cdot 3\,ds.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{6}\sin(t-s)\,\frac{s}{2}\,ds, aplica-se de novo u=t-s e integra-se entre u=t e u=t-6. O resultado é
\frac12\bigl[6\cos(t-6)-\sin t+\sin(t-6)\bigr].
  1. Para \displaystyle3\int_{6}^{t}\sin(t-s)\,ds, muda-se u=t-s e obtém-se
3\bigl[1-\cos(t-6)\bigr].
Somando tudo e incluindo o \sin t da parte homogênea, simplifica-se e encontra-se
y(t)=\sin t +\frac12\bigl[6\cos(t-6)-\sin t+\sin(t-6)\bigr] +3\bigl[1-\cos(t-6)\bigr] =3 + \frac12\bigl[\sin t+\sin(t-6)\bigr].

Resposta

y(t)= \begin{cases} \dfrac t2+\dfrac12\,\sin t, & 0\le t<6,\\[8pt] 3+\dfrac12\bigl[\sin t+\sin(t-6)\bigr], & t\ge6. \end{cases}]

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