O resultado do limite \lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}= é?
a. não existe
b. 1 / 2 \sqrt{3}
C. +\infty
d. 2 \sqrt{3}
e. -\infty

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to3^+}\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}
Esse é um problema de limites envolvendo expressão indeterminada do tipo 1/0. Para resolver, vamos verificar o sinal do denominador e, se necessário, usar racionalização.

Passo 2

Se fizermos a substituição direta x\to3, o denominador \sqrt{x}-\sqrt{3} tende a
\sqrt{3}-\sqrt{3}=0
e, como x\to3^+, temos \sqrt{x}>\sqrt{3}, isto é, o denominador tende a 0^+. Logo a forma é 1/0^+, que sugere +\infty, mas vamos confirmar com racionalização.

Passo 3

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{3}:
\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})} =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}\,.

Passo 4

Ao aproximar x\to3^+, o numerador tende a
\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}
e o denominador x-3 tende a 0^+. Portanto
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}\;\longrightarrow\;\frac{2\sqrt{3}}{0^+}=+\infty.

Resposta

c. +\infty

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