Calcule a transformada de Laplace
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t, & 0 \leq t<2, \\\ (t-2)^{2}, & t \geq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função por partes
f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<2,\\\ (t-2)^{2},&t\ge2. \end{cases}
O conteúdo é a definição de transformada de Laplace \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e o procedimento de separar a integral nos intervalos em que f muda de expressão.

Passo 2

Escrevemos
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt\;+\;\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt por partes: tome u=t, dv=e^{-st}dt, então du=dt, v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}. Logo,
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{2} +\frac{1}{s}\int_{0}^{2}e^{-st}dt =-\frac{2}{s}e^{-2s} +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{2}.
Isso dá
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}dt =-\frac{2}{s}e^{-2s} -\frac{1}{s^{2}}e^{-2s} +\frac{1}{s^{2}} =\frac{1}{s^{2}} -e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}dt usando mudança de variável u=t-2:
quando t=2 temos u=0, e quando t\to\infty temos u\to\infty. Além disso dt=du e e^{-st}=e^{-s(u+2)}=e^{-2s}e^{-su}. Assim,
\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}dt =e^{-2s}\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-su}du.
Mas \displaystyle \int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-su}du=\frac{2}{s^{3}} (fórmula \int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-su}du=n!/s^{n+1}). Logo
\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}dt =\frac{2}{s^{3}}\,e^{-2s}.

Passo 5

Somando as duas parcelas encontradas:
F(s) =\underbrace{\frac{1}{s^{2}} -e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr)}_{\int_{0}^{2}t\,e^{-st}dt} \;+\;\underbrace{\frac{2}{s^{3}}e^{-2s}}_{\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}dt}.
Podemos reorganizar os termos com e^{-2s}:
F(s) =\frac{1}{s^{2}} -e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}-\frac{2}{s^{3}}\Bigr).

Resposta

F(s) =\frac{1}{s^{2}} -e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}-\frac{2}{s^{3}}\Bigr).

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