Resolva o PVC
y^{\prime \prime}+4 y=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y(\pi)=0 .

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor de contorno (PVC) com as seguintes informações:
  • A equação diferencial: y''+4y=0.
  • As condições de contorno: y'(0)=1 e y(\pi)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições dadas.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea linear de coeficientes constantes y''+4y=0.
Método (passo a passo): assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolvendo: r^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm \beta\mathrm{i} com \alpha=0 e \beta=2, a solução geral é combinacão linear de cosseno e seno:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições de contorno.
Explicando por que: as exponenciais complexas e^{(\pm 2\mathrm{i})x} equivalem às combinações de \cos(2x) e \sin(2x) (fórmula de Euler), por isso usamos essas funções reais.

Passo 3

Agora precisamos da derivada y'(x) para aplicar a condição y'(0)=1. Derivando termo a termo:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
Usando a regra de derivação \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), obtemos
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x).
Aqui cada termo foi derivado aplicando a cadeia: ao derivar \cos(2x) multiplica-se por a derivada interna 2, e o mesmo para \sin(2x).

Passo 4

Aplicar a condição y'(0)=1. Substituindo x=0 em y'(x):
y'(0)=-2C_{1}\sin(0)+2C_{2}\cos(0).
Sabendo que \sin(0)=0 e \cos(0)=1, isso vira
y'(0)=0 + 2C_{2}\cdot 1 = 2C_{2}.
A condição pede y'(0)=1, logo
2C_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a condição y(\pi)=0. Primeiro escrevemos y(\pi) usando a solução geral e o valor já encontrado para C_{2}:
y(\pi)=C_{1}\cos(2\pi)+C_{2}\sin(2\pi).
Agora usamos \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0. Observação: \cos e \sin são funções periódicas, e \cos(2\pi)=1,\\ \sin(2\pi)=0 são identidades trigonométricas básicas.
Isso dá
y(\pi)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
A condição impõe y(\pi)=0, portanto
C_{1}=0.

Passo 6

Agora que determinamos C_{1} e C_{2}, substituímos na solução geral:
C_{1}=0,\qquad C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo a solução do PVC é
y(x)=0\cdot\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x).

Passo 7

Verificação rápida (boa prática): verificar que essa y(x) satisfaz a equação e as condições.
  • Derivadas: y'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x) e y''(x)=-2\sin(2x).
  • Substituindo na equação: y''+4y = -2\sin(2x)+4\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x) = -2\sin(2x)+2\sin(2x)=0. OK.
  • Condições: y'(0)=\cos(0)=1 e y(\pi)=\tfrac{1}{2}\sin(2\pi)=0. OK.
    Portanto a solução está correta e é única para este conjunto de condições.

Resposta

y(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x)

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