Resolva o PVC
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor de contorno (PVC) com as seguintes informações:
- A equação diferencial:
- As condições de contorno:
e
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições dadas.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea linear de coeficientes constantes
Método (passo a passo): assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
Resolvendo:
Quando as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral é combinacão linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições de contorno.
Explicando por que: as exponenciais complexas equivalem às combinações de
e
(fórmula de Euler), por isso usamos essas funções reais.
Explicando por que: as exponenciais complexas
Passo 3
Agora precisamos da derivada
para aplicar a condição
. Derivando termo a termo:
Usando a regra de derivação
e
, obtemos
Aqui cada termo foi derivado aplicando a cadeia: ao derivar
multiplica-se por a derivada interna
, e o mesmo para
.
Passo 4
Aplicar a condição
. Substituindo
em
:
Sabendo que
e
, isso vira
A condição pede
, logo
Passo 5
Aplicar a condição
. Primeiro escrevemos
usando a solução geral e o valor já encontrado para
:
Agora usamos
e
. Observação:
e
são funções periódicas, e
são identidades trigonométricas básicas.
Isso dá
Isso dá
A condição impõe
, portanto
Passo 6
Agora que determinamos
e
, substituímos na solução geral:
Logo a solução do PVC é
Passo 7
Verificação rápida (boa prática): verificar que essa
satisfaz a equação e as condições.
- Derivadas:
e . - Substituindo na equação:
. OK. - Condições:
e . OK.
Portanto a solução está correta e é única para este conjunto de condições.