1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A soma é sobre n de 1 até +\infty.
  • O termo geral é a soma de duas parcelas: \dfrac{1}{e^{n}} e \dfrac{1}{n(n+1)}.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da soma para separar a série em duas séries mais simples. Como todos os termos são não negativos, é lícito separar:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.
Vou calcular cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Cálculo da primeira soma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}.
Isto é uma série geométrica com termo geral \left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}. A fórmula padrão para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} é
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\quad\text{se }\lvert r\rvert<1.
Aqui podemos reescrever \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n}. Usando a fórmula com a=\dfrac{1}{e} e r=\dfrac{1}{e} (ou derivando rapidamente: S_N=\dfrac{1/e(1-(1/e)^N)}{1-1/e} e fazendo N\to\infty pois |1/e|<1), obtemos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}=\frac{1/e}{1-1/e}=\frac{1}{e-1}.

Passo 4

Agora a segunda soma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.
Aqui usamos decomposição em frações parciais. Observa-se que
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Isto pode ser verificado reunindo as frações no mesmo denominador. Essa forma revela um comportamento telescópico quando somamos termos consecutivos.

Passo 5

Calcular a soma parcial e tomar limite. Seja a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Ao escrever os primeiros termos nota-se o cancelamento:
S_N=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right).
Quase todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_N=1-\frac{1}{N+1}.
Fazendo N\to\infty, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{N\to\infty}S_N=1.

Passo 6

Juntando os resultados das duas séries (passos 3 e 5), a soma total é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{e-1}+1.
Simplificando a soma:
1+\frac{1}{e-1}=\frac{e-1}{e-1}+\frac{1}{e-1}=\frac{e}{e-1}.

Resposta

\dfrac{e}{e-1}

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