Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A soma é sobre
de até . - O termo geral é a soma de duas parcelas:
e .
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da soma para separar a série em duas séries mais simples. Como todos os termos são não negativos, é lícito separar:
Vou calcular cada uma dessas somas separadamente.
Passo 3
Cálculo da primeira soma
.
Isto é uma série geométrica com termo geral
. A fórmula padrão para uma série geométrica
é
Aqui podemos reescrever
. Usando a fórmula com
e
(ou derivando rapidamente:
e fazendo
pois
), obtemos:
Passo 4
Agora a segunda soma
.
Aqui usamos decomposição em frações parciais. Observa-se que
Isto pode ser verificado reunindo as frações no mesmo denominador. Essa forma revela um comportamento telescópico quando somamos termos consecutivos.
Passo 5
Calcular a soma parcial e tomar limite. Seja a soma parcial
Ao escrever os primeiros termos nota-se o cancelamento:
Quase todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Fazendo
, obtemos
Passo 6
Juntando os resultados das duas séries (passos 3 e 5), a soma total é
Simplificando a soma: